Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

Примером упорядоченного множества является предложение, если под ним понимать совокупность конечного числа слов, расставленных в определенном порядке. Например:

1.Эта юноша молодая.

2.Эта девушка прекрасна.

Определение пересечения множеств. Пересечением двух множеств A и B, обозначается A B, называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств A и B:

def

A B {x : x A è x B}.

Символ «равенства с def» в этой формуле означает «равенство по определению», т.е. то, что стоит слева от этого символа, определяется через то, что стоит справа, а def — это сокращение от латинского слова definito — определение.

Например, если A — «множество студентов 3-го курса филологиче- ского факультета», а B — «множество девушек, которые учатся на филоло-

гическом факультете», то A B — «множество девушек-студенток 3-го курса, которые учатся на филологическом факультете». Если A — «множе-

ство четных чисел», а B — «множество двузначных чисел», то A B — «множество четных двузначных чисел».

Операция пересечения множеств широко применяется в лексикографической практике, в частности, при составлении двуязычных и многоязычных словарей.

Если множества A è B не имеют общих элементов, то их пересечение

пусто, A B = , и в таком случае говорят, что множества A и B не пересекаются. На рис. 1.3 и 1.4 приведены диаграммы Эйлера–Венна для двух

множеств A è B в случаях, когда соответственно A B è A B. Множе-

ñòâó A B на этих рисунках соответствует заштрихованная часть диаграмм.

Операция «пересечение» множеств обладает рядом свойств, напоминающих свойства операции «умножения» чисел. Однако некоторые свой-

32

ства пересечения множеств отличаются от соответствующих свойств умножения.

Åñëè A подмножество множества B, ò. å. A B, òî A B = A (см. рис. 1.4), поскольку общими для множеств A è B будут все элементы множества A и только они. Отметим свойства пересечения справедливые для любых множеств A, B è C:

A B A è A B B.

Кроме того, из включения A B следует включение A C B C. В частности, для любого множества A имеет место равенство A = . Также верно равенство A A = A (идемпотентность пересечения), поэтому нет смысла говорить, например, о «степени» множества в том смысле, в каком говорят о степени числа. Эти свойства отличают операцию пересече- ния множеств от операции умножения чисел и легко проверяются на различных множествах.

Пример. Пусть A — «множество, состоящее из различных букв русского алфавита, входящих в первую строку “Евгения Онегина”», B — «множество, состоящее из различных букв, входящих во вторую строку

этого романа в стихах». Найдем пересечения этих множеств A B. Множество A состоит из 18 различных букв:

A = {М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л}, а множество B состоит из другой совокупности 13 букв:

B = {К, О, Г, Д, А, Н, Е, В, Ш, У, Т, З, М}. Пересечением этих множеств является следующий набор из 8 букв:

A B = {Ì, Î, Ä, À, Å, Ò, Í, Â},

который содержится как во множестве A, так и во множестве B.

Замечание. В предложениях естественного языка возможны относящиеся к подлежащему определения, которые не ограничивают его зна- чения и являются отдельными множествами, задаваемыми характеристическими свойствами.

Например, с помощью имеющихся у нас понятий «подмножество» и «пересечение множеств» запишем на языке теории множеств математиче- скую формулировку предложения: «Онегин, добрый мой приятель, родил-

ся на брегах Невы».

Пусть универсальным множеством будет все множество людей. Обозначим через A — «одноэлементное множество, состоящее из Онегина», B — «множество добрых приятелей автора», C — «множество людей, родивших-

33

ся на брегах Невы». Тогда математической формулой данной строки из «Евгения Онегина» в терминах теории множеств будет включение:

A (B C).

Напомним, что в пересечении множеств использована связка « è ».

Определение объединения множеств. Объединением двух множеств A и B, обозначается A B, называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B:

def

A B {x : x A èëè x B}.

Например, если A — «множество всех девушек, которые учатся на филологическом факультете», а B — «множество всех юношей, которые учатся на том же факультете», то A B — «множество всех студентов филологического факультета». Если A — «множество всех нечетных натуральных чисел», а B — «множество всех четных натуральных чисел», то A B — «множество всех натуральных чисел».

В рассмотренных примерах объединяемые множества не имели общих элементов, т. е. их пересечение было пусто. Если какой-нибудь элемент входит в множество A и в множество B, ò. å. A B , òî в их объединение A B он входит один раз. На рис. 1.5—1.7 приведены диаграммы Эйлера – Венна для двух множеств A è B в случаях, когда A B , A B è A B = . Множеству A B на этих рисунках соответствует заштрихованная часть диаграмм.

Операция «объединение» множеств обладает рядом свойств, напоминающих свойства операции «сложения» чисел. Однако некоторые свойства объединения множеств отличаются от соответствующих свойств сложения чисел.

Åñëè A подмножество множества B, ò.å. A B, òî A B = B (см. рис. 1.6), так как элементы из множества A принадлежат множеству B и второй раз включать их в объединение не надо. Отметим свойства объединения, справедливые для любых множеств A, B è C:

34

A A B è B A B.

Кроме того, из включения A B следует включение A C B C. В частности, для любого множества A имеют место равенства: A A = A

(идемпотентность объединения), а также A = A.

Пример. Пусть A — «множество, состоящее из различных букв русского алфавита, входящих в первую строку “Евгения Онегина”», B — «множество, состоящее из различных букв, входящих во вторую строку

этого романа в стихах». Найдем объединение этих множеств A B.

Множество A состоит из 18 различных букв:

A = {М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л}, а множество B состоит из другой совокупности 13 букв:

B = {К, О, Г, Д, А, Н, Е, В, Ш, У, Т, З, М}. Объединением этих множеств является следующий набор из 23 букв:

A B = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë, Ê, Ã, Ø, Ó, Ç}.

Поскольку 8 букв М, О, Д, А, Е, Т, Н, В, принадлежащих пересечению множеств A è B, вошли в объединение этих множеств только один раз, то поэтому мы получили только 23 буквы, а не 18 + 13 = 31 букву, т. е. (18 + 13) – 8 = 23.

Замечание. Союз «или» в русском языке может использоваться в двух смыслах: исключающем è неисключающем. В определении объединения множеств союз «или» используется в неисключающем смысле.

В естественном языке союз «или» порою используется как раздели тельная связка: «то или другое, но не оба вместе». Используя союз èëè, мы можем иметь в виду исключающее или. Например, когда мы говорим: «студент сдаст зачет по математике или он не сдаст этот зачет», то, конечно, предполагаем, что он сделает что-то одно. В логике исключающее или используется довольно редко, и мы, за редким исключением, будем обходиться без него. Для хозяев был довольно неожиданным вполне логичный ответ Ходжи Насреддина на вопрос: «Что желаете поесть: плова или бешбармака?» — «А разве у вас всего один котел?» На следующем примере проиллюстрируем еще одну тонкость в определении объединения и пересечения множеств.

Пример. Пусть A — «множество студентов филфака, прогуливающих занятия по высшей математике», B — «множество студентов филфака, надеющихся получить “зачет” по математике». Найдем объединение A B и пересечение A B этих множеств A и B.

35

Напомним, что формально определения для объединения и пересече- ния множеств отличаются только союзами « èëè » è « è », соединяющими условия x A и x B. В формальном определении важную смысловую нагрузку имеет словосочетание «соединяющие условия». Поскольку множества A è B описаны не в виде {x : x обладает свойством Ð}, òî ñîþç « è » без «соединяющих условий» может оказаться двусмысленным. Рассмотрим, например, следующие два множества:

C — «множество студентов филфака, прогуливающих занятия по математике èëè надеющихся получить “зачет” по математике».

D — «множество студентов филфака, прогуливающих занятия по математике è надеющихся получить “зачет” по математике».

Очевидно, что C = A B, но так как в множестве D перечисляются или различные студенты из множеств A è B, или одни и те же студенты из этих множеств, то, по существу, это тоже объединение множеств A è B, ò. å. D = A B. Рассмотрим еще одно множество.

E — «множество студентов филфака, прогуливающих занятия по математике, которые надеются получить “зачет” по математике».

Студенты из множества E принадлежат каждому из множеств A è B, поэтому E = A B.

Соответствующий вывод: При работе с неформально описанными множествами следует пользоваться неформальной, но содержательной частью определений операций над множествами.

Замечание. Выражение «A и B» в естественном языке при перечислении однородных членов часто означает совокупность, в которую вклю- чаются объекты множеств A и B. На математическом языке принадлежность к такой совокупности выражается через A B.

В естественном языке практически все слова многозначны. Смысл слова зачастую невозможно понять, вырвав его из контекста предложения, в которое оно входит. Поэтому при переводе с естественного языка на язык математического формализма нужно пытаться понять смысл переводимого предложения.

Определение разности множеств. Разностью двух множеств A и B, обозначается A \ B (èëè A – B), называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству A, но не принадлежащих множеству B:

def

A / B {x : x A è x B}.

В определении разности множеств не предполагается, что множество B является подмножеством множества A. Например, если A è B —

36