Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

«множество студентов филологического факультета, изучающих соответственно английский и немецкий языки», то A \ B — «множество студентов филологического факультета, которые изучают английский язык, но не изучают немецкий язык». Если множество A = {x : x 1} и множество B = {x : x 0}, тогда разность A \ B = {x : 0 x 1}.

Åñëè A подмножество множества B, ò. å. A B, то тогда A \ B = . На рис. 1.8–1.10 приведены диаграммы Эйлера – Венна для двух множеств A è B в случаях, когда соответственно A B , B A è A B = . Множеству A \ B на этих рисунках соответствует заштрихованная часть диаграмм.

Операция «разность» множеств обладает рядом свойств напоминающих свойства операции «вычитания» или «разности» чисел. Но следует обратить внимание на то, что разность множеств не является операцией,

обратной объединению множеств, которую иногда называют «сложением» множеств. В этом можно убедиться, доказав следующие соотношения (см. для наглядности рис. 1.8—1.10):

(A \ B) B = A B è (A \ B) (A B) = A.

В частности, если B A, òî A B = B и из предыдущего равенства следует, что (A \ B) B = A (см. рис. 1.9). Если множества A è B не пересекают-

ñÿ, ò. å. A B = , òî A \ B = A, поскольку в этом случае множество A не содержит элементов множества B (см. рис. 1.10). Отметим свойство разности, справедливое для любых множеств A, B è C:

A \ B A.

Кроме того, из включения A B следуют включения (A \ C) (B \ C) è (C \ B) (C \ A). В частности, для любого множества A имеют место равенства:

A \ A = , A \ = A è \ A = .

Пример. Пусть A — «множество, состоящее из различных букв русского алфавита, входящих в первую строку “Евгения Онегина”», B — «множество, состоящее из различных букв, входящих во вторую строку этого романа в стихах». Найдем разность этих множеств A \ B.

37

Множество A состоит из 18 различных букв:

A = {М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л}, а множество B состоит из другой совокупности 13 букв:

B = {К, О, Г, Д, А, Н, Е, В, Ш, У, Т, З, М}. Разностью этих множеств вида A \ B является набор из 10 букв:

A \ B = {É, ß, Ñ, Û, Õ, ×, Ï, Ð, È, Ë},

которые принадлежат множеству A, но не содержатся в множестве B. Так как только 8 букв М, О, Д, А, Е, Т, Н, В принадлежат пересечению A B, т. е. содержатся в множестве A и множестве B, то множество A \ B содержит 18 – 8 = 10 букв, а не 18 – 13 = 5 букв.

Замечание. Операция разности множеств «несимметрична» относительно множеств A и B, в том смысле, что

A \ B B \ A, кроме того (A \ B) (B \ A) = .

Например, в предыдущем примере разность A \ B = {Й, Я, С, Ы, Х, Ч, П, Р, И, Л}, а разность B \ A = {К, Г, Ш, У, З}. Убедимся в этом на еще одном примере.

Если в операциях объединения и пересечения оба множества участвуют равноправно, то операция разности, как говорят математики, некоммутативна. Ничего удивительного здесь нет, так как арифметическая разность чисел тоже некоммутативна.

Пример. Пусть A — «множество студентов-филологов, слушавших лекции по курсу “Основы высшей математики”», а B — «множество людей, изучавших медицинскую латынь». Найдем следующие разности мно-

жеств A \ B и B \ A.

Тогда A \ B — «множество студентов-филологов, слушавших лекции по “Основам высшей математики”, но не изучавших медицинскую латынь», а B \ A — «множество людей, изучавших медицинскую латынь, не являющиеся студентами-филологами, которые слушали лекции по “Основам высшей математики”».

Замечание. «Вычитание» из множества A множества B сводится к «удалению» из множества A общей части A и B, т. е. множества A B:

A \ B = A \ (A B).

С такой операцией над множествами мы часто сталкиваемся в реальной жизни. Проанализируем следующий эпизод из работы инспектора

Варнике.

38

Полицейский инспектор Варнике осмотрел сейф, закурил свою трубку и сказал: «Электродрелью вскрывают сейфы только пять взломщиков: Алек Кунце, Фриц Шмидт, Густав Хойгер, Генрих Кунтцман и Томас Мюллер. Но Алек, Фриц и Густав сейчас находятся в тюрьме Моабит. Придется спросить Генриха и Томаса, где они провели прошлую ночь…»

Если обозначить через A — «множество подозреваемых взломщиков, пользующихся электродрелью», а через B — «множество подозреваемых, находившихся в тюрьме Моабит», то, удалив из множества A все элементы множества B, инспектор Варнике сузил круг подозреваемых в ограблении преступников. Его метод рассуждения основан на применении операции разности множеств.

Определение дополнения множеств. Если обозначить через U —

универсальное множество, содержащее множество A, то разность U \ A

называется дополнением множества A и обозначается A:

def

A {x : x U è x A}.

Дополнение A множества A — это множество элементов фиксированного универсального множества U, не входящих в A. Например, если U — множество всех действительных чисел R, то дополнением множества всех

рациональных чисел в множестве действительных чисел будет множество всех иррациональных чисел.

Напомним, что при графической иллюстрации универсальное множество представляется обычно прямоугольником на плоскости, а множества — кругами, лежащими внутри этого прямоугольника (рис. 1.11). На рис. 1.12 дополнению множества A, ò. å. A, соответствует заштрихованная часть этого прямоугольника.

Чтобы избежать трудностей при изображении дополнения множества будем следовать правилу Джона Венна: «Не следует стараться

заштриховать всю внешнюю часть диаграммы». Тем более что в реальных ситуациях дополнение может оказаться не таким уж «большим» множеством.

39

Например, Марина Цветаева â «Записных книжках» писала: «Меня презирают — (и в праве презирать) — все.

Служащие — за то, что не служу, писатели — за то, что не печатаю, прислуга — за то, что не барыня, барыни — за то, что в мужицких сапогах (прислуги и барыни!).

Кроме того — все — за безденежье.

1/4 презирают, 1/4 презирает и жалеет, 1/2 — жалеет. (1/2 + 1/4 + 1/4 = 1)

А то, что уже вне единицы — Поэты! — восторгаются».

Заметим, что такая операция, как дополнение, отсутствует в обыч- ной алгебре. Вообще говоря, в теории множеств дополнений у множеств тоже нет, но о них тем не менее говорят, имея в виду дополнение до фиксированного подразумеваемого множества U.

Отметим следующие свойства дополнения, справедливые для любого множества A, и содержащего его универсального множества U:

A A = U è A A = .

Кроме того, дополнение пустого множества совпадает с универсальным множеством, а дополнение универсального множества — с пустым множеством.

Пример. Пусть A — «множество, состоящее из различных букв русского алфавита, входящих в первую строку “Евгения Онегина”», а универсальное множество U — «множество всех букв русского алфавита».

Найдем дополнение множества A, т. е. множество A = U \ A.

Множество A состоит из 18 различных букв русского алфавита: A = {Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë}.

Поскольку в русском алфавите 33 буквы, то дополнением является следующее множество, состоящее из 15 букв:

A = {Á, Ã, ¨, Æ, Ç, Ê, Ó, Ô, Ö, Ø, Ù, Ú, Ü, Ý, Þ}.

Замечание. Для разности произвольных множеств A и B справедливо следующее равенство:

A \ B = A B,

т. е. разность множеств A \ B есть пересечение множества A и дополне-

ния множества B.

С помощью понятия «дополнение» и имеющихся у нас понятий «подмножество» и «пересечение подмножеств» дадим на языке теории множеств формальное определение хорошего поступка. Будем считать, что

«хороший поступок — это такой поступок, который приносит добро хотя бы некоторым людям и не приносит зла никому».

40

Пусть универсальным множеством U будет множество всех поступков. Обозначим через A — «множество хороших поступков», B — «множество поступков, приносящих добро хотя бы одному человеку», а через C — «множество поступков, приносящих зло хотя бы одному человеку». Тогда математической формулой данного выше определения хорошего поступка будет соотношение:

A B \ C .

Замечание. Чем «больше» само множество, тем «меньше» элементов остается в его дополнении, т. е.

A B B A.

Для понимания этого утверждения воспользуемся следующей графи- ческой иллюстрацией диаграммы Эйлера – Венна. На рис. 1.13 универсальное множество U изображено в виде прямоугольника, а множества A è B в виде кругов, где A B.

Дополнение к множеству A состоит из точек прямоугольника, лежащих вне меньшего круга (обозначено вертикальной штриховкой), а дополнение к множеству B состоит из точек прямоугольника, лежащих вне большего круга (обозначено горизонтальной штриховкой). ßñíî, ÷òî äëÿ ýòèõ

дополнений справедливо включение B A.

Определение симметрической разности множеств. Симметриче- ской разностью двух множеств A и B, обозначается A B, называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A и B:

def

A B (A \ B) (B \ A).

Например, если A è B — «множество студентов филологического факультета, изучающих соответственно английский и немецкий языки», то A B — «множество студентов филологического факультета, которые изуча- ют английский, но не изучают немецкий язык, или изучают немецкий язык,

41