Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

но не изучают английский язык». Если A = {x : 0 x 2} и множество B = {x : 1 x 3}, то тогда симметрическая разность A B = {x : 0 x < 1 èëè 2 < x 3}.

Åñëè A подмножество множества B, ò. å. A B, то тогда в отличие от разности A \ B симметрическая разность A B . На рис. 1.14—1.16 приведены диаграммы Эйлера – Венна для двух множеств A è B в случаях, когда соответственно A B , A B è A B = . Множеству A B на этих рисунках соответствует заштрихованная часть диаграмм.

Для операции симметрической разности, исходя из ее определения, можно дать другое эквивалентное определение â âèäå

A B = (A B) \ (A B).

Другими словами симметрическая разность множеств A и B есть разность между объединением и пересечением данных множеств.

Если множества A è B не пересекаются, т. е. A B = , òî A B =

A B (см. рис. 1.16). Отметим свойство симметрической разности

справедливое для любых множеств A è B: A B = A = B. В частности, для любого множества A имеют место равенства:

A A = , A = A è A = A.

Пример. Пусть A — «множество, состоящее из различных букв русского алфавита, входящих в первую строку “Евгения Онегина”», B — «множество, состоящее из различных букв, входящих во вторую строку этого романа в стихах». Найдем симметрическую разность этих мно-

жеств A B.

Множество A состоит из 18 различных букв:

A = {М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л}, а множество B состоит из другой совокупности 13 букв:

B = {Ê, Î, Ã, Ä, À, Í, Å, Â, Ø, Ó, Ò, Ç, Ì}.

42

Симметрической разностью этих множеств является следующий набор из 15 букв:

A B = {É, ß, Ñ, Û, Õ, ×, Ï, Ð, È, Ë, Ê, Ã, Ø, Ó, Ç},

которые принадлежат разностям множеств A \ B è B \ A или, по другому определению, принадлежат объединению множеств A B, но не принадлежат пересечению заданных множеств A B, поэтому количество букв в множестве A B равно 23 – 8 = 15.

Замечание. Для разности произвольных множеств A и B справедливы следующие равенства:

A \ B = A (A B), A \ B = A (A B).

Симметрическая разность множеств A è B состоит из тех элементов, которые принадлежат в точности одному из этих множеств. В определении

симметрической разности, по существу, используется связка «исключаю-

ùåå èëè».

Известный английский писатель и ученый Чарлз Сноу в знаменитой лекции «Две культуры и научная революция» утверждал, что духовный мир, в который он включал и практическую деятельность, все явственнее поляризуется на противоположные части. На одном из полюсов — художественная интеллигенция, которая стала называть себя просто интеллигенцией, а на другом — представители естественнонаучного знания, лучшими из которых он считал физиков.

Пусть A — «множество людей, имеющих представление о гуманитарном знании», а B — «множество людей, имеющих представление о естест-

веннонаучном знании», тогда A B — «множество людей, имеющих представление только о гуманитарном знании или только о естественнонауч- ном знании». Проблема «двух культур» состоит в том, чтобы сделать

множество A B пренебрежимо малым. Учитывая то, что для литературной культуры в целом характерна подчеркнутая неосведомленность в области естественных и математических наук, его особенно беспокоила со-

ставляющая A \ B множества A B.

В заключение этого раздела с помощью понятия «стиля» проиллюстрируем все четыре операции над множествами: пересечение, объединение, разность и симметрическую разность множеств.

Пример. Пусть A — «множество стилистических приемов писателя N», а B — «множество стилистических приемов писателя P». Опишем

следующие пять множеств: A B, A B, A \ B, B \ A, A B.

Будем считать, что стиль — это совокупность абсолютно специфиче- ских единиц языка, или, другими словами, сумма черт, отличающая его от

43

всех других, выделенных конкретным исследователем. Кратчайшее определение: стиль есть специфика языка данного писателя.

Тогда пересечение A B — «множество общих стилистических приемов писателей N è P»; объединение A B — это «все многообразие стилистических приемов писателей N è P»; разность A \ B — «множество стилистических приемов, отличающих писателя N от писателя P», соответственно разность B \ A — «множество стилистических приемов, отличающих писателя P от писателя N»; наконец, симметрическая разность A B — это «множество всех неповторимых стилистических приемов писателей N è P».

 ýññå «Катастрофы в воздухе» Иосиф Бродский писал: «Причина, по которой русская проза пошла за Толстым, заключается, конечно, в стилистике его выразительных средств, соблазнительной для любого подражателя. … В каком-то смысле Толстой был неизбежен, потому что

Достоевский был неповторим».

Стиль каждого большого писателя или поэта имеет свои неповторимые количественные характеристики. Эти характеристики служат, прежде всего, профессиональным лингвистам и литературоведам, позволяя им решать спорные вопросы об авторстве с помощью чисел.

Замечание. Из двух определений симметрической разности непосредственно следует, что для объединения множеств справедливы равенства:

A B = (A B) (A B) = (A \ B) (A B) (B \ A).

Обозначим через n(S) — число элементов конечного множества S. Используя последнее равенство для A B можно посчитать число элементов n(A B) объединения множеств A è B, когда их пересечение не пусто, т. е. A B . Заметим, что когда число элементов множества A суммируется с числом элементов множества B, то элементы, принадлежащие множеству A B, учитываются дважды.

Утверждение. Для произвольных конечных множеств A и B число элементов объединения этих множеств n(A B) равно

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B).

Доказательство. Поскольку A \ B, B \ A è A B — попарно непересекающиеся множества, то из представления объединения множеств A è B â âèäå A B = (A \ B) (A B) (B \ A) следует, что n(A B) = = n(A \ B) + n(A B) + n(B \ A). Из представлений множеств A è B в виде объединения непересекающихся множеств вида A = (A \ B) (A B) è

44

B = (B \ A) (A B) следует, что n(A) = n(A \ B) + n(A B) è n(B) = = n(B \ A) + n(A B). Поэтому

n(A) + n(B) – n(A B) = n(A \ B) + n(A B) + n(B \ A) + n(A B) –

– n(A B) = n(A \ B) + n(A B) + + n(B \ A) = n(A B),

что и требовалось доказать.

Пример. На потоке из 100 студентов 75 человек изучают английский язык, 60 — немецкий язык, а 45 человек — одновременно английский и немец-

кий языки. Сколько студентов изучают английский или немецкий язык?

Пусть A — «множество студентов, изучающих английский язык», B — «множество студентов, изучающих немецкий язык». Тогда в силу предыдущего утверждения количество студентов, изучающих английский или немецкий язык, равно

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 75 + 60 – 45 = 90.

Вопросы для самоконтроля

1.Верно ли, что пересечением множества согласных звуков русского языка и множества гласных звуков русского языка будет множество всех слогов?

2.Верно ли, что операцию пересечения множеств можно определить

ñпомощью операции разности множеств по формуле A B = = A \ (A \ B) ?

3.Можно ли сказать, что дополнение к дополнению множества совпадает с исходным множеством?

4.Верно ли, что из равенства объединения и пересечения множеств

A è B, ò. å. A B = A B, следует равенство этих множеств A = B ?

5. Верно ли, что соотношение A B эквивалентно каждому из следующих равенств: A B = B, A B = A, A \ B = ?

1.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Рассмотренные выше операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности множеств составляют основной арсенал операций теории множеств. Заметим, что всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие множества, является в некотором смысле его неявным определением. Можно сказать, что контекст ставит понятие множества

в связь с другими понятиями и тем самым косвенно раскрывает его содержание. Поэтому возникает естественный вопрос о более подробном иссле-

45

довании их свойств, распространяя эти операции на большее число множеств.

В качестве модельного примера рассмотрим основные свойства операций сложения и умножения чисел. Математическую теорию натуральных чисел называют иногда арифметикой. Сформулируем пять основных законов арифметики, известных всем студентам, окончившим среднюю школу, а именно соотношения:

1) a + b = b + a; 2) a b = b a; 3) a + (b + c) = (a + b) + c; 4) a (b c) = (a b) c; 5) a(b + c) = a b + a c,

справедливые для любых натуральных чисел, обозначенных символиче- скими буквами a, b, c. Два первых закона — коммутативный (переместительный) закон сложения и коммутативный закон умножения, которые говорят о том, что при сложении и при умножении можно менять порядок чи- сел, над которыми совершается это действие. Два следующих закона — ассоциативный (сочетательный) закон сложения и ассоциативный закон умножения, которые утверждают, что при выполнении соответствующих операций для трех чисел получается один и тот же результат, независимо от того, в каком порядке совершаются соответствующие действия. Пятый закон — дистрибутивный (распределительный) закон — устанавливает, что при умножении суммы двух чисел на некоторое третье число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Ýòè арифметические законы могут оказаться неприменимыми к нечисловым объектам. Например, если a è b обозначают не числа, а химические вещества и под «сложением» или «объединением» понимается прибавление к одному химическому веществу другого, то коммутативность такой операции может не выполняться для любых химических веществ. Действительно, если к воде прибавлять серную кислоту, то получится разбавленный раствор, тогда как прибавление воды к чистой кислоте может закончиться неприятностями для эксперимента. В такой «химической арифметике» иногда нарушается и ассоциативность.

Рассмотрим теперь основные свойства операции объединения и пересечения множеств, аналогичные свойствам операций сложения и умножения чисел.

1. Законы коммутативности. Для любых двух множеств A и B выполняются свойства коммутативности операций объединения и пересе чения:

A B = B A, A B = B A.

46