Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

Диаграммы Эйлера – Венна подводят нас к следующему фундаментальному вопросу: Что такое доказательство с математической точки зрения? Рассуждения, использующие слова, подобные «значит», «таким образом», «следовательно», на самом деле не являются доказательствами, поскольку логические связи подменяются в них поверхностными, чисто психологическими ассоциациями. Для использования указанных слов не на метафорическом уровне, а на уровне операциональном нужно хорошее знание хотя бы некоторых, доступных для всех, разделов математики. Если суден- ты-гуманитарии отказываются от этого, то тем самым они отказываются от многих возможностей развития и обоснования своих идей. Поэтому одна из целей обучения математике гуманитариев — чисто психологическая, состоящая в создании новой психологии обучения, параллельной обычной, гуманитарной, с целью формирования дисциплины мышления. Ответом на поставленный вопрос для филологов может быть следующая характеристика доказательства:

«Доказательство — это такая конструкция, синтаксическая правильность ко-

торой гарантирует семантическую».

С точки зрения любого гуманитарного и естественнонаучного знания, кроме ма тематики, это не просто характеристика, а вполне приемлемое определение. Группа математиков, выступавшая под общим псевдонимом Никола Бурбаки, начинала свои «Начала математики» словами: «Со времен греков говорить математика — значит говорить доказательство». Хотя термин «доказательство» является едва ли не самым главным в математике, он не имеет точного определения. Вторгаясь в область психологии, можно сказать, что «доказательство» — это такое рассуждение, которое убеж-

дает нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других.

Английский писатель и пропагандист науки Чарлз Сноу в получившей широкий отклик лекции «Две культуры и научная революция» утверждал, что существуют две отдельные культуры: одна — культура естественников и математиков, другая — литературная и традиционная, которая принадлежит гуманитариям. Известный логик и математик профессор В. А. Успенский считает, что «под видом математики мы на самом деле преподаем … русский язык, но со смыслом, с семантикой». В школе изучают морфологию и синтаксис, а семантике не учат, поскольку это гораздо труднее.

Сложные доказательства представляют собой длинную цепочку правильных умозаключений, поэтому доказательство можно рассматривать как последовательность утверждений, каждое из которых в силу одной из следующих причин:

а) по предположению; б) по аксиоме или определению;

в) по ранее доказанной лемме или теореме; г) по способу вывода из предыдущих утверждений;

д) по логической эквивалентности предыдущему утверждению.

С точки зрения теории познания, ценность математического доказательства со-

стоит в том, что математическое сообщество обладает уникальной способностью отделять правильные доказательства от ошибочных. Оно также способно устанавливать окончательность доказательства, учитывая методологические представления о äî-

пустимом и недопустимом в математике.

Докажем дистрибутивность объединения относительно пересече- ния для множеств, ò. å. равенство:

A (B C) = (A B) (A C).

52

Ïî определению равенства множеств надо доказать справедливость следующих двух включений:

A (B C) (A B) (A C) è (A B) (A C) A (B C).

Ïî определению подмножества необходимо показать, что если элемент x принадлежит левой части включения, то он принадлежит правой ча- сти включения.

Начнем с первого включения. Пусть x A (B C). По определению объединения множеств отсюда следует, что x A èëè x B C. Åñëè x A, то тогда по свойству объединения x A B è x A C. Следовательно, по определению пересечения множеств имеем, что x (A B) (A C). Åñëè x B C, то по определению пересечения множеств x B è x C, отсюда по свойству объединения получим x A B è x A C. Следовательно, по определению пересечения множеств имеем, что x (A B) (A C), т. е. включение доказано.

Рассмотрим второе включение. Пусть x (A B) (A C). По определению пересечения множеств отсюда следует, что x A B è x A C. Возможны следующие варианты для рассматриваемого элемента x, а именно x A èëè x A. Åñëè x A, òî ïî свойству объединения имеем x A (B C). Åñëè x A и одновременно x A B è x A C, то из этих трех соотношений и из определения объединения множеств получим, что x B è x C. Следовательно, по определению пересечения множеств x B C è ïî свойству объединения получим, что x A (B C). Второе включение доказано.

Таким образом, доказана дистрибутивность объединения относительно пересечения для множеств.

Отметим, что в числовом случае доказанное соотношение, т. е. A (B C) = (A B) (A C), имело бы вид a + (b c) = (a + b) (a + c), что разумеется неверно, т. е. для чисел не выполняется закон «дистрибутивности сложения относительно умножения». Однако для чисел выполняется закон «дистрибутивности умножения относительно сложения», ò. å. a (b + c) = a b + a c, аналог которого для операций на множествах имеет вид: A (B C) = (A B) (A C). Нетрудно привести строгое доказательство этого равенства.

Докажем дистрибутивность пересечения относительно объединения для множеств, ò. å. равенство:

A (B C) = (A B) (A C).

53

Ïî определению равенства множеств надо доказать справедливость следующих двух включений:

A (B C) (A B) (A C) è (A B) (A C) A (B C).

Начнем с первого включения. Пусть x A (B C). По определению пересечения множеств отсюда следует, что x A è x B C. Итак, всегда x A, кроме того, для него по определению объединения множеств возможны следующие варианты: x B èëè x C. Åñëè x B, то тогда, поскольку он еще содержится в множестве A, получим x A B, поэтому по

свойству объединения x (A B) (A C). Åñëè x C è òàê êàê x A, то можно утверждать, что x A C, поэтому по свойству объединения x (A B) (A C). Первое включение доказано.

Рассмотрим второе включение. Пусть x (A B) (A C). По определению объединения множеств отсюда следует, что x A B èëè x A C. Åñëè x A B, то по определению пересечения множеств x A è x B. Åñëè x A C, то аналогично x A è x C. Отсюда получим, что в любом случае x A è x B èëè x C, последнее означает, что x B C. Следовательно, по определению пересечения множеств x A (B C). Второе включение доказано.

Таким образом, доказана дистрибутивность пересечения относительно объединения для множеств.

Пример. Множество всех студентов филологического факультета является объединением следующих трех множеств: A — «множество всех успевающих студентов»; B — «множество всех девушек»; C — «множество всех неуспевающих юношей». Опишем множества, входящие в

равенства законов дистрибутивности.

Ясно, что каждый студент филологического факультета принадлежит хотя бы одному из указанных множеств. Заметим, что множества A è B имеют общие элементы — успевающие девушки входят и в первое, и во второе множество.

С одной стороны, поскольку B C = , òî A (B C) = A = A. С другой стороны, A B — «множество всех успевающих студентов и всех девушек», A C — «множество всех успевающих студентов и всех неуспевающих юношей», следовательно, (A B) (A C) — «множество всех успевающих студентов», т. е. это опять множество A. В этом примере для множеств A, B è C справедливы равенства:

A (B C) = A = (A B) (A C).

54

Аналогично, поскольку B C — «множество всех девушек и всех неуспевающих юношей», то A (B C) — «множество всех успевающих девушек», а так как A C = , òî (A B) (A C) = A B — это тоже «множество всех успевающих девушек». В этом примере для множеств A, B è C справедливы равенства:

A (B C) = A B = (A B) (A C).

С помощью этого примера мы еще раз убедились в справедливости доказанных выше законов дистрибутивности.

В большинстве математических доказательств логика «скрыта» в том смысле,

что о ней специально не упоминается. Предполагается, что каждый может самостоятельно отслеживать логику без посторонней помощи, так как ее специальное рассмотрение может, на первый взгляд, усложнить сам процесс доказательства. В доказательствах законов дистрибутивности для объединения и пересечения неявно использованы логиче- ские свойства дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнкции.

Обозначим высказывания буквами латинского алфавита p, q, r. Выражение p q называется дизъюнкцией высказываний p и q, где символ « » обозначает слово « èëè » в переводе на символический язык. Выражение p q называется конъюнкцией высказываний p и q, где символ « » обозначает слово « è » на языке символических выражений. Используя таблицы истинности, перечисляющие все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний, можно доказать следующие логические законы дистрибутивности:

p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r).

Центральная задача логики — отделение правильных схем рассуждения, пра-

вильность которых определяется логической формой от неправильных рассуждений. Отсюда интерес формальной логики к таким обычно не привлекающим внимания словам естественного языка, как «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда» и т. п. О том, что это действительно так, говорит всем знакомая с детства загадка-шутка: «A и B сидели на трубе, A упало, B пропало, что осталось на трубе?» осталось «è».

Покажем, как при доказательстве законов дистрибутивности в теории множеств можно использовать символы дизъюнкции, конъюнкции, эквивалентности и соответствующие логические законы дистрибутивности.

Утверждение. Для произвольных множеств A, B и C справедливо равенство: A (B C) = (A B) (A C).

Доказательство. Покажем одновременно с помощью логической связки эквивалентности, что каждое из множеств, входящих в это равенство, есть подмножество другого множества. Напомним, что мы используем логический знак « » вместо выражения «тогда и только тогда, когда».

55

Утверждение. Для произвольных множеств A, B и C справедливо равенство: A (B C) = (A B) (A C).

Доказательство. Опять покажем с помощью логического рассуждения, используя логический знак « », что каждое из множеств, входящих в это равенство, является подмножеством другого множества.

Свойства дистрибутивности, доказанные в теории множеств, имеют аналоги в логике. Такого рода связь, а именно один из законов логики — закон де Моргана — существенно используется для доказательства соответствующего аналога свойства де Моргана для операции дополнения в теории множеств.

Отрицание (èëè опровержение) высказывания p обозначается символом через

« p ». Например, если p есть высказывание «x принадлежит множеству Ì», òî p — это высказывание «x не принадлежит множеству Ì». Используя таблицы истинности, можно доказать следующие логические законы де Моргана:

(p q) p q,

(p q) p q.

Эти законы, названные именем шотландского математика и логика Августа де Моргана, широко используются в естественном языке и позволят переходить от утверждений с союзом è к утверждениям с союзом èëè, и наоборот.

Например, используя эти законы от высказывания «Неверно, что изучение ма тематики для студентов-филологов трудно и бесполезно», можно перейти к логи- чески эквивалентному высказыванию «Изучение математики студентами-филоло-

гами не является трудным или же оно не бесполезно».

На основе законов де Моргана связку è можно определить, используя отрицание, через связку èëè, и наоборот:

«p è q» означает «неверно, ÷òî íå-p èëè íå-q», «p èëè q» означает «неверно, ÷òî íå-p è íå-q».

Например, высказывание «Студенты филфака изучают концепции современного естествознания и основы высшей математики» означает «Неверно, что студенты филфака не изучают концепций современного естествознания или не изучают основы высшей математики».

Утверждение. Для произвольных множеств A и B справедливы формулы де Моргана в теории множеств, ò. å. имеют место равенства:

56