Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

U \ (A B) = (U \ A) (U \ B),

U \ (A B) = (U \ A) (U \ B),

ãäå U — универсальное множество, содержащее множества A и B.

Для понимания этих равенств воспользуемся графическими иллюстрациями диаграмм Эйлера – Венна. На рис. 1.28–1.30 универсальное множество U изображено в

виде прямоугольника. Множеству U \ (A B) на рис. 1.28 и множеству U \ (A B) на рис. 1.30 соответствует заштрихованная часть диаграммы. На рис. 1.29 вертикальной штриховкой изображено множество U \ A, à горизонтальной штриховкой — множество U \ B.

Доказательство. Покажем одновременно, что каждое из множеств, входящих в равенство, есть подмножество другого множества. Начнем с первого равенства.

Аналогично с помощью общего рассуждения доказывается второе равенство.

Пример. На потоке из 100 студентов 75 человек изучают английский язык, 60 — немецкий, а 45 человек — одновременно английский и немецкий языки. Сколько студен-

тов не изучают ни английский, ни немецкий язык?

Пусть A — «множество студентов, изучающих английский язык», B — «множество студентов, изучающих немецкий язык», а универсальное множество U — это поток из 100 студентов. Тогда множество студентов, не изучающих ни англий-

57

ский, ни немецкий язык равно пересечению дополнений (U \ A) (U \ B). В силу предыдущего утверждения (U \ A) (U \ B) = U \ (A B). Напомним, что число студентов, изучающих английский или немецкий язык, равно n(A B)=90, поэтому

n((U \ A) (U \ B)) = n(U \ (A B)) = 100 – 90 = 10, т. е. всего 10 студентов не изучают эти иностранные языки.

Замечание. Из доказанных в предыдущем утверждении равенств, следуют важные для практических рассуждений утверждения:

« x A B » эквивалентно « x A è x B », « x A B » эквивалентно « x A èëè x B ».

Пример. Используя это замечание, докажем еще раз формулы де Моргана на языке теории множеств.

Начнем с равенства вида U \ (A B) = (U \ A) (U \ B). Åñëè x U \ (A B), то по определению дополнения x A B, значит в силу предыдущего замечания x A è x B, ò. å. x U \ A è x U \ B. Следовательно, по определению пересечения множеств x (U \ A) (U \ B). Åñëè x (U \ A) (U \ B), òî x U \ A è x U \ B, значит по определению дополнения x A è x B. Тогда в силу предыдущего замечания отсюда следует, что x A B, ò. å. x U \ (A B), и нужное равенство для множеств доказано.

Рассмотрим равенство U \ (A B) = (U \ A) (U \ B). Åñëè x U \ (A B), то по определению дополнения x A B, значит в силу предыдущего замечания x A èëè x B, ò. å. x U \ A èëè x U \ B. Следовательно, по определению объединения множеств x (U \ A) (U \ B). Åñëè x (U \ A) (U \ B), òî x U \ A èëè x U \ B, значит по определению дополнения x A èëè x B. Тогда в силу предыдущего замечания следует, что x A B, ò. å. x U \ (A B), и, таким образом, второе равенство доказано.

Утверждение. Для любых трех множеств A, B и C выполняется свойство дистрибутивности пересечения относительно симметрической разности для множеств:

A (B C) = (A B) (A C).

Доказательство. Для доказательства этого равенства проверим справедливость включений:

A (B C) (A B) (A C) è (A B) (A C) A (B C).

Начнем с первого включения. Пусть x A (B C). По определению пересече- ния множеств следует, что x A è x B C. Èòàê, x всегда принадлежит множеству A, и, кроме того, по определению симметрической разности для него возможны следующие варианты: x B \ C èëè x C \ B, т. е. по определению разности множеств x B, íî x C, èëè x C, íî x B. Тогда из предыдущего с учетом того, что x A, имеем x A B, íî x A C, òàê êàê ïî свойству пересечения A C C, èëè x A C, íî x A B, òàê êàê ïî свойству пересечения A B B. Таким образом, x (A B) \ (A C) èëè x (A C) \ (A B) и по определению симметрической разности множеств x (A B) (A C). Первое включение доказано.

Рассмотрим второе включение. Пусть x (A B) (A C). По определению симметрической разности множеств возможны варианты: x (A B) \ (A C) èëè x (A C) \ (A B), что по определению разности множеств означает x A B, íî

58

x A C, èëè x A C, íî x A B. Åñëè x A B, íî x A C, то по определению пересечения множеств и предыдущему замечанию имеем x A è x B, íî x A èëè x C. Следовательно, x A è x B, íî x C, ò. å. x A (B \ C). Значит по определению симметрической разности множеств и одному из свойств пересечения из последней принадлежности элемента x получим, что x A (B C). Åñëè x A C, íî x A B, то по аналогии с предыдущим рассуждением будем иметь x A è x C, íî x B, ò. å. x A (C \ B), откуда следует x A (B C). Таким образом, второе включение доказано.

Отметим, что в доказанном равенстве, вообще говоря, нельзя поменять местами операции « » и « » тем не менее выполняется одно из включений вида

A (B C) (A B) (A C).

Замечание. Для любых трех множеств A, B и C выполняется свойство дистрибутивности пересечения относительно разности для множеств:

A (B \ C) = (A B) \ (A C).

Для своих открытий математика пользуется аналогиями, моделями, примерами, но математическое утверждение входит в математическую систему знаний только после того, как оно доказано логическим рассуждением.

Математическое утверждение — ýòî, прежде всего, строгое логи- ческое доказательство. Их образцы были продемонстрированы в этом разделе на примере основных свойств операций над множествами. Доказательство состояло в выводе их с помощью строго логически обоснованных и на каждой ступени доказательства явно сформулированных правил из начальных положений, которые фигурируют в данных утверждениях.

Вопросы для самоконтроля

1.Верно ли, что для произвольных множеств A, B è C справедливы следующие равенства: A (B C) = (A B) (A C) è A (B C) =

=(A B) (A C) ?

2.Верно ли, что для произвольных множеств A, B выполняется закон

поглощения для объединения A (A B) = A è закон поглощения для пере-

сечения A (A B) = A ?

3. Верно ли, что для произвольных множеств A, B è C в силу закона дистрибутивности равенство A (B C) = (A B) C эквивалентно включе- нию C A ?

1.5. ПОНЯТИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ

Содержанием речевой деятельности является передача различных желаний, мыслей, чувств и т. п., которые можно назвать «смыслами». Согласно Сергею Аверинцеву, «филология занимается “смыслом” — смыслом

59

человеческого слова и человеческой мысли, смыслом культуры, — íî íå íà-

гим смыслом, как это делает философия, а смыслом, живущим внутри слова и одушевляющим слово». Эволюции понятия «смысл» посвящено несколько книг и множество специальных статей, но определить его оказалось чрезвычайно трудно. Перебирая близкие по значению слова, такие как идея, сущность, целостное содержание и т. п., можно увидеть глубокую связь смысла с целостностью. Как сказала Надежда Мандельштам: «Ñòè-

хотворение воспринимается как целое, когда смысл и слова неразделимы, а позже раскрываются мелкие подробности, детали, углубляющие основной смысл».

Истинными или ложными бывают только осмысленные высказывания. Не об этом ли знаменитые поэтические строки: «Я понять тебя хочу Смысла я в тебе ищу»

(А. С. Пушкин), «Так современных проявлений Смысл иногда и бестолков» (Ô. È. Òþò- ÷åâ), «Èõ òüìà, им нет числа и сметы, Их смысл досель еще не полн» (Б. Л. Пастернак). Средством передачи содержания смыслов служат последовательности звуковых, мимических или графических взаимосвязанных знаков и сигналов, которые можно назвать текстами.  äóõå концепции дополнительности Бора можно говорить о том, что понимая то, что нам говорят, мы, вообще говоря, не воспринимаем, из каких именно отдельных элементов (ñëîâ, морфем, фонем) состоит то, что произносится. Но такой подход не оказал никакого влияния на языкознание, поскольку доминировавшей идеей в науке о языке в прошлом столетии было представление о соответствии между «смыслом» и «текстом», точнее между «означаемым» и «означающим». В сопоставлении этих двух элементов выдающийся языковед из Женевы Фердинанд де Соссюр видел основную функцию языка как знаковой системы. С помощью смысла знание входит в сознание, поэтому смысл рассматривают как интуитивную компоненту сознания, наряду с текстом (рацио) и языком (эмоцио).

Даже соблюдение правил синтаксиса не всегда гарантирует осмысленность. Предложение «Квадратичность пьет воображение» является, судя по всему, бессмысленным, хотя и не нарушает ни одного правила синтаксиса русского языка. В разных книгах можно встретить знаменитую фразу академика Л. В. Щербы: «Глокая куздра штеко будланула бокра и кудрячит бокренка». Грамматические окончания в этом предложении русские, хотя корни слов — нет. Тем не менее носители русского языка находят в предложении подлежащее, сказуемое и второстепенные члены предложения, толкуя его приблизительно так: «Некая самка сильно ударила какого-то самца и наносит удары его детенышу». Логика математики и компьютерных «систем понимания» отличается от логики языка, допускающего кроме прямого смысла еще и переносный.

Если какой-то вопрос обсуждается за «круглым столом», то сидеть, обсуждая его, можно за столом любой формы — круглой, прямоугольной, квадратной. Тогда фраза «Этот круглый стол — четырехугольный» может оказаться правильной не только грамматически, но и семантически. Например, для пятилетнего ребенка вполне осмысленной может оказаться фраза «бумсик неутолстял» (Полина Михайлова), что означает «на тебя все каштаны попадали». Осмысленная последовательность слов всегда озна- чает что-то, описывает или оценивает некоторую ситуацию. Правила, определяющие, какие тексты соответствуют каким смыслам (или «сгусткам словосмыслов») принято иногда называть языком. Сопоставление множеств приводит к понятию соответст-

60

âèå, которое подобно понятию множества является одним из основных понятий математической лингвистики.

Формальная наука, например, математика или логика, отличается тем, что она проверяет прежде всего форму и поэтому может рассуждать про лишенную смысла в естественном языке «глокую куздру» столь же уверенно, как про «круглый квадрат». С точки зрения математики, систему правил или формальный язык можно интерпретировать как частный случай важнейшего понятия математики отображения (èëè функции), которое, строго говоря, не подлежит формальному определению.

Определение отображения. Пусть X и Y — заданные множества. Если указано некоторое правило (способ, закон), согласно которому каждому элементу x X соответствует один-единственный элемент y Y, то тогда говорят, что определено отображение f (или функция f)

из множества X в множество Y, обозначается f : X Y.

Заметим, что в определении отображения использован символ f îò «function» (функция), хотя для обозначения отображения используются и другие символы g, h è ò. ï.

Пример. Пусть X — множество населенных пунктов Республики Беларусь, Y = N — множество натуральных чисел. Отображение f : X Y — правило, указывающее для каждого населенного пункта x X его

расстояние y = f(x) Y от Октябрьской площади города Минска.

Если вышеупомянутое правило (способ, закон) обозначено буквой f, то тогда элемент y Y, соответствующий какому-нибудь элементу x X, может быть записан как y = f(x). Запись f : X Y читается: «отображение f действует из множества X в множество Y». Отметим, что упомянутое правило или соответствие не будет задавать отображение, если:

найдется элемент x X такой, что ему не соответствует ни один элемент y Y, т. е. ни для какого y Y, y f(x);

найдется элемент x X такой, что ему соответствует более одного

элемента из Y, т. е. найдется, например, y1, y2 Y такие, что для этих эле-

ментов y1 = f(x), y2 = f(x).

Например, пусть X — «множество пальто, висящих в университетском гардеробе», Y — «множество крючков на вешалках в этом гардеробе». Если каждому пальто x X поставить в соответствие крючок y Y, на котором это пальто висит, то получим отображение f : X Y. Поскольку каждое пальто висит на крючке и никакое пальто не висит на нескольких крючках, то можно сказать, что задано отображение.

Замечание. Отображение f : X Y характеризуется: множеством X, из которого оно действует, его также называют областью определения отображения f и обозначают D( f ); множеством Y, в которое оно действует, его также называют областью значений отображения f и

61