Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

жества y f(A) èëè y f(B). Следовательно, по определению объединения множеств y f(A) f(B).

Покажем теперь, что f(A) f(B) f(A B). Пусть y f(A) f(B), тогда по определению объединения множеств y f(A) èëè y f(B). Отсюда, по предыдущему замечанию, учитывая также то, что множества A è B, вообще говоря, разные, получим x1 A такой, что y = f(x1) èëè x2 B такой, что y = f(x2). Поэтому в силу свойства объединения x1 A B, à y = f(x1), èëè x2 A B, à y = f(x2). Следовательно, по определению образа множества y f(A B). Таким образом, первое равенство доказано.

Доказательство включения для образа пересечения множеств f(A B) f(A) (B) проводится так же, как и для аналогичного включения образа объединения множеств, только в соответствующем рассуждении вместо слов «объединение» надо записать «пересечение», а вместо союза «или» надо поставить союз «и».

Покажем на контрпримере, ÷òî f(A B) f(A) f(B). Пусть X = {a, b, c}, Y = {d, e}. Рассмотрим множества A = {a, b}, B = {b, c} è çàäà-

хотя всегда тем не менее справедливо включение f(A B) f(A) f(B). Сделаем одно полезное замечание для тех, кто собирается заниматься

сравнительным литературоведением. Пусть, например, A — «множество определенных литературных стилей, описанных в классической терминологии», B — «множество определенных литературных традиций, описанных в классической терминологии». Если f — отображение этих стилей и традиций в соответствующие им литературные стили и традиции в постклассической терминологии, то образ пересечения стилей и традиций прошлого, ò. å.

f(A B), вообще говоря, не совпадает с пересечением образов стилей и традиций настоящего, ò. å. ñ f(A) f(B). Можно лишь утверждать, что первое множество содержится во втором.

Замечание. Для любого отображения f : X Y и множеств A, B X справедливы включения:

f(A B) f(A) f(B) è f(A \ B) f(A) \ f(B).

На контрпримерах можно показать, что обратные включения для образов разности и симметрической разности множеств, вообще говоря, не выполняются.

67

Определение прообраза множества. Пусть отображение f действует из множества X в множество Y. Прообразом множества B Y при отображении f : X Y, обозначается f –1(B), называется множество всех элементов x X, образы которых f(x) B:

def

f –1(B) {x : f(x) B}.

Например, прообразом одноэлементного множества, состоящего из фразы «Я вас люблю» при отображении f, построенном после определения образа множества, является трехэлементное множество, состоящее из фраз: «ß, и именно я, люблю вас», «Я люблю именно вас», «Я на самом деле люблю вас». Напомним, что с точки зрения языка, это три разные фразы в области смысловых интонаций и формальных трансформаций.

Пример. Пусть X = {k, m, n, p, q} — английские согласные, Y = {ê, ì, í, ï} — буквы русского алфавита, соответствующие при чтении указанным английским согласным, и отображение f : X Y задано по правилу: f(k) = ê, f(m) = ì, f(n) = í, f(p) = ï, f(q) = к. Найдем прообразы множеств

B = {ê}, C = {ì, í, ï} è D = {ê, ì, í, ï}.

Нетрудно видеть, что прообразы указанных множеств соответственно равны:

f –1(B) = {k, q}, f –1(C) = {m, n, p}, f –1(D) = {k, m, n, p, q}.

Замечание. Пусть f : X Y и B Y. Элемент x f –1(B) тогда и только тогда, когда образ этого элемента f(x) B:

x f –1(B) f(x) B.

Это утверждение следует из определения прообраза множества. Отметим следующее простое свойство прообразов множеств:

C D f –1(C) f –1(D).

Кроме того, f –1(B) = B R( f ) = , ãäå R( f ) — область значений отображения f.

Рассмотрим свойства прообразов объединения и пересечения. Утверждение. Для любого отображения f : X Y и множеств

B, D Y справедливы равенства:

f –1(B D) = f –1(B) f –1(D), f –1(B D) = f –1(B) f –1(D).

Доказательство. Рассмотрим первое равенство. Покажем выполнение включения f –1(B D) f –1(B) f –1(D). Пусть x f –1(B D), тогда в

68

силу последнего замечания f(x) B D. Отсюда по определению объединения множеств f(x) B èëè f(x) D. Значит в силу последнего замечания x f –1(B) èëè x f –1(D). Следовательно, по определению объединения

x f –1(B) èëè x f –1(D). Отсюда в силу последнего замечания f(x) B èëè f(x) D, а по определению объединения множеств f(x) B D. Следовательно, по предыдущему замечанию x f –1(B D). Таким образом, первое равенство доказано.

Доказательство равенства для прообразов пересечения множеств f –1(B D) = f –1(B) f –1(D) проводится так же, как и в случае аналогичного равенства для прообраза объединения множеств, только в соответствующем рассуждении вместо слов «объединение» надо записать «пересече- ние», а вместо союза «или» надо поставить союз «и».

Замечание. Для любого отображения f : X Y и множеств B, D Y справедливы равенства:

f –1(B \ D) = f –1(B) \ f –1(D) è f –1(B D) = f –1(B) f –1(D).

Отметим также, что для произвольного отображения f : X Y справедливы включения A f –1(f(A)), для множества A X è f(f –1(B)) B äëÿ

множества B Y. В частности, если множество B содержится в области значений отображения f, ò. å. B R( f ), то тогда f ( f –1(B)) = B.

Вопросы для самоконтроля

1.Верно ли, что если X — «множество слов русского языка», Y — «множество слов английского языка», то соответствие между X è Y, задаваемое с помощью словарей является отображением из множества X в множество Y ?

2.Верно ли, что на множестве палиндромов (перевертышей), т. е. слов, которые выглядят одинаково при чтении как слева направо, так и справа налево, отображение, которое каждому слову ставит в соответствие слово, записанное теми же буквами, но в обратном порядке является тождественным отображением?

3.Верно ли, что на множестве N, составленного из n различных букв n-буквенного слова, можно определить mn отображений в множество M, составленного из m различных букв m-буквенного слова?

69

Чем математика может быть полезна гуманитарию? С точки зрения рационалистического решения научной проблемы, математика — это культура исследований. Различие между математическим и непосредственным познанием определяет задачу математического образования гуманитариев: для понимания скрытой гармонии мира, кроме эмоциональных средств, нужны концептуальные соглашения, выражающиеся в виде простых математических законов. Поскольку традиции преподавания курса «Основы высшей математики для филологов» только складываются, то наиболее интересны примеры использования «математического диалекта»

óклассиков.

Âромане Льва Толстого «Война и мир» имеется рассуждение Пьера Безухова на интересующую нас тему: «Отображение множества букв французского языка в множество натуральных чисел». Французские буквы в соответствии с одним из известных способов числоизображений, по которому первые десять букв обозначаются цифрами от единицы до десяти, а прочие буквы — десятками, имеют следующие значения:

a b c d e f g h i k l m n o p q r s t u v w x y z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Написав на этой азбуке слова L’empereur Napoléon (император Наполеон), выходит, что сумма этих чисел равна 666 и что поэтому Наполеон есть тот зверь, о котором предсказано в Апокалипсисе. Эта аргументация, которая есть в собрании сочинений графа Л. Н. Толстого, изданном в Москве в 1886 году, и приведена в заметке Б. С. Стечкина «Арифметическая ошибка в “Войне и мире”». Что можно сказать по поводу этой литератур- но-числовой интерпретации исторического персонажа?

Во-первых, любого грамотного человека может смутить непосредственная числовая проверка вынесенного заключения. Действительно, воспользовавшись заданным отображением, получим, что 20 + 5 + 30 + 60 + 5 + 80 + 5 + 110 + 80 + 40 + + 1 + 60 + 50 + 20 + 5 + 50 + 40 = 661 666. Куда делась недостающая пятерка? На этот вопрос страницей ниже отве- чает сам Лев Николаевич: «5 означает «е», то самое «е», которое было откинуто в article перед словом l’empereur». Во-вторых, и это самое главное, проблема в заданном отображении.

Ошибка Безухова. В ряду «очислованных» букв отсутствует одна

буква французского алфавита, а именно буква j.

Безусловно, в контексте литературно-художественной характеристики Наполеона, гипотеза Пьера Безухова впечатляет, но с точки зрения математического формализма следует признать, что это всего лишь художественный вымысел автора.

70