Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

Прежде чем давать определения операций над множествами заметим, что определение может быть более глубоким или менее глубоким, и его глубина зависит, прежде всего, от общего уровня тех, для кого оно предназна- чается, и от уровня знаний об определяемом математическом объекте или операции над ним. Чем больше мы сами знаем и чем лучше знаем определяемый предмет, тем больше вероятность того, что нам удастся найти удовлетворяющее всех определение.

Определение множества. Множество A называется подмножеством множества B, обозначается A B (èëè B A), если каждый элемент множества A является элементом множества B.

A B ( x ) ( x A x B ).

В этой символической записи использованы логические обозначения:

символ — квантор всеобщности («äëÿ âñåõ», «для любого»), çíàê —

импликация (ò. å. X Y означает: «åñëè X, òî Y», «в случае X выполняется

Y»), наконец, логическая связка — эквивалентность («если и только если», или ритуальное выражение «тогда и только тогда, когда»), называ-

емая иногда «двойной импликацией».

Наши рассуждения слагаются из высказываний. Понятие высказывания — одно из исходных, ключевых понятий логики. В таком качестве, как и понятие множества, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Тем не менее можно сказать, что

высказывание — это грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом, дающим представление о том, в какой ситуации оно будет истинным, а в какой ложным. Хотя с истиной бывает по-разному. Мы все стремимся к ней, но редко ее достигаем, поэтому õîðî-

шо быть математиком ëèáî òåì, êòî «знает явленную ему истину». Высказывание «множество A есть подмножество множества B», ò. å.

A B, можно также прочесть следующим образом: «множество A включе- но в множество B», èëè «множество B включает множество A», à символ

называется символом включения.

Например, множество M = {всех книг русских авторов некоторой библиотеки} есть подмножество множества N = {все книги этой библиоте-

êè}, ò. å. M N. Множество студентов третьего курса филологического факультета университета является подмножеством в множестве всех студентов данного факультета. В свою очередь, множество студентов филологи- ческого факультета является подмножеством в множестве всех студентов университета.

Замечание. В число «подмножеств» непустого множества A удобно включить само A и пустое множество , т.е. A A и A.

27

Таким образом, всякое множество есть подмножество самого себя. Второе включение можно мотивировать исходя из следующего рассуждения. Если бы пустое множество не было подмножеством множества A, то оно содержало бы элемент, принадлежащий множеству , но не принадлежащий множеству A, а поскольку пустое множество не содержит элементов, то это невозможно. Эти два подмножества, т.е. и A, называются несобственными подмножествами множества A. Остальные подмножества, если таковые есть, называются собственными подмножествами множества A. Например, множество букв, обозначающих гласные звуки, является собственным подмножеством множества букв русского алфавита.

Пример. Посчитаем число подмножеств следующих трех конечных

множеств.

1. Подмножествами двухэлементного множества {0, 1} являются че-

тыре множества: , {0}, {1}, {0, 1}.

2. Подмножествами трехэлементного множества {0, 1, 2} являются

восемь множеств: , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}.

3. Наконец, у конечного множества, состоящего из n элементов, будет ровно 2n подмножеств, включая пустое и его самого.

Замечание. Отметим приятное свойство подмножеств: подмножество подмножества само является подмножеством, т. е. если

C B è B A, òî C A.

Действительно, если каждый элемент множества C является элементом множества B, а каждый элемент множества B является элементом множества A, то каждый элемент множества C есть элемент множества A.

Чтобы избежать некоторых противоречий ограничим круг рассматриваемых множеств, т. е. будем работать с множествами, которые полу- чаются из множеств, встречающихся в «природе» или конкретной области знания с помощью теоретико-множественных операций. Обычно все мно-

жества, с которыми имеют дело в математическом рассуждении, явля-

ются подмножествами некоторого фиксированного множества. Поэтому будем предполагать, что множества, рассматриваемые в рамках ка- êîé-ëèáî теории, являются подмножествами одного множества, называемого универсальным множеством. Будем обозначать его через U. Крайне редко встречаются рассуждения, в которых идет речь, например, о множестве всех действительных чисел и множестве всех книг в университетской библиотеке. В дальнейшем слово «множество» всегда будет означать подмножество некоторого универсального множества.

28

Существует очень удобный прием наглядного изображения взаимоотношений между множествами, позволяющий иллюстрировать операции над ними, — так называемые диаграммы Эйлера – Венна. Множества в этих диаграммах чаще всего изображаются кругами, точнее внутренностью этих кругов, а прямоугольник изображает универсальное множество U. Достаточно основательно «метод кругов» развил швейцарский математик Леонард Эйлер, хотя этим методом математики пользовались и до него. Идея графических методов стала особенно популярной после того, как английский логик Äæîí Âåíí подробно изложил их в книге «Символи- ческая логика».

В диаграммах Эйлера – Венна не имеет значения относительный размер кругов, а только их взаимное расположение. На рис. 1.1 два множества

A è B изображены кругами, причем видно, что множество A включено в

множество B, ò. å. A B, è A — собственное подмножество множества B, которое не совпадает с ним. На рис. 1.2 также изображено включение

A B, но при этом множества A è B совпадают. Вообще говоря, диаграммы Эйлера – Венна сами ничего не доказывают, а только иллюстрируют и по-

могают доказать.

Два множества считаются равными, если их характеристические свойства эквивалентны. Если математики условливаются считать некоторые множества равными, то тем самым они отказываются рассматривать те свойства этих объектов, которые нарушают равенство.

Замечание. Отождествляя множества, характеристические свойства которых эквивалентны, тем самым косвенно заявляется, что, во-первых, элементы в множествах равноправны, поскольку только характеристические свойства элемента принимаются во внимание при образовании множества, а, во-вторых, элементы не повторяются.

Из определения подмножества следует, что множество A включено в множество B, ò. å. A B, åñëè характеристические свойства B {õ. ñ. B} следуют из характеристических свойств A {õ. ñ. A}, т. е. справедлива импликация {х. с. A} {õ. ñ. B}. Свойства эквивалентности {х. с. A} è {õ. ñ. B}

29

через логические связки импликации можно символически записать в виде:

({õ. ñ. A} {õ. ñ. B}) ({õ. ñ. A} {õ. ñ. B} è {õ. ñ. B} {õ. ñ. A}).

Следовательно, для равенства множеств можно дать следующее формальное определение.

Определение равенства множеств. Множества A и B равны, обозначается A = B, если все элементы множества A принадлежат также множеству B, а все элементы множества B принадлежат также множеству A:

A = B A B è B A.

Согласно этому определению A = B, åñëè каждое из двух множеств есть подмножество другого множества, поэтому можно говорить, что множества A è B «состоят из одних и тех же элементов».

Например, сравнивая множество A, состоящее из словоформ âû, âàñ, âàì, âàìè с множеством B, состоящим из форм склонения местоимения âû, убеждаемся, что A B è B A, т. е. что эти множества равны, A = B.

Определение равенства множеств распространяется и на ту ситуацию, когда эти множества вообще не содержат элементов.

Замечание. Все пустые множества равны между собой, т. е. существует только одно пустое множество .

Поскольку пустое множество задается тождественно ложным характеристическим свойством, то в соответствии с этим все пустые множества должны быть равны.

Тривиальные идеи иногда трудно осознать. Любые два пустых множества равны, потому что нет элементов, по которым их можно было бы различать.

Поэтому, например, можно считать, что «множество динозавров в Минском зоопарке» равно «множеству квадратных кругов». Когда математика расходится со здравым смыслом, вступает в свои права контекст, т. е. некоторые тонкости математической интерпретации рассматриваемых множеств.

Неравенство множеств A è B, обозначается A B, указывает на то, что, по крайней мере, в одном из этих множеств есть такой элемент, которого нет в другом множестве. Для того чтобы доказать, что множества A и B не равны друг другу, нужно показать, что одно из включений A B èëè B A неверно. Для этого достаточно предъявить хотя бы один элемент,

30

принадлежащий одному множеству, но не являющийся элементом другого множества.

Например, множество ударных гласных фонем по классификации Л. В. Щербы не равно множеству тех же фонем в классификационной схеме Р. И. Аванесова (см.: Пиотровский Р. Г., Бектаев К. Б., Пиотровская А. А.

«Математическая лингвистика». Ì., 1977).

Пример. Пусть элементами множеств A и B являются тома собра-

ния сочинений одного и того же классика, представленные номерами томов: A = {1, 2, 3} è B = {1, 2, 3}. Выясним, равны ли множества A и B.

Вообще говоря, из попарного равенства числовых значений элементов двух различных множеств еще не следует их взаимное включение. Если принадлежность элементов одного множества другому множеству не определена по условию задачи, то тогда можно попытаться установить ее на основании дополнительных свойств элементов. Рассмотрим, например, следующие два случая.

Пусть известно, что множество книг A — часть домашней библиотеки, а множество книг B — часть университетской библиотеки. Поскольку одни и те же тома данного классика принадлежат разным библиотекам, то при таких условиях нельзя сказать, что A = B, т. е. эти множества различны.

Пусть теперь в множествах A è B элементы 1, 2, 3 — тома данного классика из университетской библиотеки, выдаваемые в разное время двум различным читателям: первый читатель получил тома множества A, а второй — множества B. В таком контексте можно заключить, что A = B, т. е. эти множества равны.

Замечание. Если порядок элементов множества специально не оговорен, то любое множество рассматривается как неупорядоченное.

Например, если x и y различные элементы, то двухэлементное множество {x, y} можно определить как неупорядоченную пару следующим образом:

{z : z = x èëè z = y}.

При этом мы исходим из существования в естественном языке объективно заданного разделения фраз на грамматически допустимые è грамматически недопустимые, так что о каждой фразе мы можем сделать один из двух взаимно исключающих друг друга выводов: эта фраза допустима или недопустима. Действительно, из определения равенства множеств следует, что если, например, M = {a, b}, т. е. двухэлементное множество, то M = {b, a}, поскольку как a, b M, òàê è b, a M, в частности, можно записать равенство {a, b} = {b, a}.

31