Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

Вопросы для самоконтроля

1.Можно ли говорить о «множестве всех стихотворений, опубликованных в Республике Беларусь»?

2.Можно ли говорить о «множестве коротких рассказов, содержащих не более тысячи слов»?

3.Можно ли говорить о «множестве фэнтези в социальной постсоветской фантастике»?

1.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА

Определенные трудности при задании множеств возникают из-за недостаточной четкости обыденного языка, а также неоднозначности человеческой речи. Кроме того, различные «промежуточные формы» затрудняют идентификацию объектов на их принадлежность тому или иному множеству.

Множество считается заданным, если его элементы можно описать таким образом, что при каждом его рассмотрении имеется в виду

одна и та же совокупность объектов.

Возможны различные способы задания множества. Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в это множество. Например, множество букв алфавита белорусского языка, множество студентов данной учебной группы определяется их списком в экзаменационной ведомости, множество всех стран на земном шаре — их списком в последнем издании географического атласа, множество произведений выдающегося писателя — оглавлением полного собрания его сочинений.

Сравнительно просты конечные множества. Смысл этого термина ясен — это множества, состоящие из конечного числа элементов. Конечное множество можно задать, перечисляя его элементы. Элементы, принадлежащие конечному множеству, записывают между двумя фигурными скобками и разделяют их запятыми.

Например, множество букв русского алфавита, обозначающих гласные звуки, можно представить в виде {а, е, ¸, и, о, у, ы, э, ю, я}, а множество первых n положительных целых чисел как {1, 2, 3, …, n}, ãäå многоточие означает продолжение перечисления этих элементов.

Замечание. Фигурные скобки вводят искусственный порядок, поскольку мы читаем слева направо, но множество {x, y} состоит из тех же самых элементов, что и {y, x}, следовательно, это то же самое множество,

т. е. порядок внутри фигурных скобок не имеет никакого значения.

Сказанное можно пояснить с помощью списка избирателей. Порядок в этом списке не предполагает каких-нибудь привилегий.

22

Понятие множества, «безобидное» на первый взгляд, порождает различные проблемы. Разберем одну из них на примере множества букв слова МНОЖЕСТВО. Перечислим элементы, из которых состоит это множество:

{Ì, Í, Î, Æ, Å, Ñ, Ò, Â}.

Проблема, которую мы хотим обсудить, состоит в том, что в русском алфавите одна буква О, а в слове МНОЖЕСТВО их две. Почему мы не записали в фигурных скобках вторую букву О? Мы могли бы говорить о паре «букв-близнецов» О, но если у нас нет способа их различать, то на самом деле в нашем распоряжении нет ничего, кроме одной буквы О. Множест-

во определяется своими элементами, т. е. каждый элемент в множестве достаточно указать один раз. Следовательно, вторая буква О не нужна, поскольку буква О в нашем множестве уже есть.

Но как тогда быть в ситуации, когда нам все-таки нужны две буквы О, например, если мы составляем слова из букв слова МНОЖЕСТВО. Ведь если букву О можно использовать два раза, то мы составим больше слов. Выход в том, чтобы различать эти две необходимые нам буквы, например, назвать их О1 è Î2. Тогда перечисляя элементы, из которых состоит нужное нам множество, получим

{Ì, Í, Î1, Æ, Å, Ñ, Ò, Â, Î2}.

С точки зрения теории множеств, проблема решена, поскольку двух одинаковых элементов в одном множестве нет. Такие тонкости, связанные с неточностью и несовершенством обычного языка, используемого в математических терминах, возникают, как правило, в самых простых случаях. Проиллюстрируем это на еще одном примере.

Пример. Пусть А — множество, состоящее из первых n натуральных чисел, т. е. А = {1, 2, 3, …, n}, где n — число букв первой строки основного стихотворного текста романа «Евгений Онегин». Определим чему

равно n.

С одной стороны, под числом n можно понимать общее число различных букв русского алфавита, встречающихся в первой строке:

Ì, Î, É, Ä, ß, Ñ, À, Û, Õ, ×, Å, Ò, Í, Ï, Ð, Â, È, Ë.

Получается, что n = 18 è À = {1, 2, 3, …, 18}. С другой стороны, под числом n можно понимать количество всех вхождений в первую строку, как количество типографских знаков:

Ì1, Î1, É1, Ä1, ß1, Ä2, ß2, Ñ1, À1, Ì2, Û1, Õ1, ×1, Å1, Ñ2, Ò1, Í1, Û2, Õ2 Ï1, Ð1, À2, Â1, È1, Ë1.

Тогда получается, что n = 25 è À = {1, 2, 3, …, 25}. Этот пример показывает, с какой тщательностью нужно формулировать и подробно разъяс-

23

íÿòü понятие множества, чтобы избежать неясности и двусмысленности, свойственной нашему естественному языку.

Заметим, что многоточие, как продолжение перечисления, можно использовать и для некоторых бесконечных множеств. В математике бесконечному множеству чаще всего дают негативное определение, т.е. бесконечное множество — это множество, не являющееся конечным. Например, множество положительных целых чисел можно обозначить как {1, 2, 3, 4, 5, …}. При перечислении элементов множества часто используются их характеристические свойства, однозначно определяющие эти элементы, т. е. свойства, которым удовлетворяют элементы данного множества, и только они. Например, множество квадратов всех положительных целых чисел, которые меньше или равны n, можно описать как {1, 4, 9, …, n2}, а бесконечное множество кубов всех положительных целых чисел можно записать как {1, 8, 27, …, k3, …}. Очевидно, что задание множества с помощью перечисления элементов удобно только в том случае, когда число элементов множества мало или характеристические свойства элементов множества легко описать.

Члены Лапутянской академии, о которых писал Джонатан Свифт в романе «Путешествие Гулливера», считали, что говорить вредно, поскольку «каждое произносимое нами слово сопряжено с изнашиванием легких». Поэтому они таскали с собой мешки с разнообразными предметами, «необходимыми для выражения наших мыслей и желаний». Вместо того чтобы назвать ту или иную вещь, «академик» вынимал ее из мешка и показывал на нее. Эта процедура очень похожа на задание нужных элементов множества, т. е. предметов из мешка, с помощью перечисления. В данном случае нелепость такого описания множества очевидна — мешки с предметами могут стать не-

подъемными.

В общем случае множество задается с помощью указания характе ристических свойств его элементов, при этом используются фигурные скобки, а внутри них приводятся характеристические свойства, описывающие элементы множества. Так, запись

{x : x обладает свойством P}

задает множество, содержащее только те объекты, которые имеют свойство Ð. Двоеточие в этой записи можно читать как «такой, ÷òî». Например, совокупность чисел {n : n — целое число и 1 n 1 000 000} задает множество всех целых чисел от 1 до 1 000 000, а совокупность людей {x : x — гражданин Республики Беларусь} описывает множество всех граждан Республики Беларусь.

Может случиться так, что два разных характеристических свойства задают одно и то же множество. Например, множество À = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} — это «множество двузначных натуральных чисел, обе цифры которых одинаковы» и «множество двузначных натуральных чисел, делящихся на 11». Задание множеств их характеристическими свойствами может привести к осложнениям, когда два различных характеристических свойства задают одно и то же множество. Например, «множе-

24

ство толстокожих сухопутных животных, имеющих два бивня» и «множество толстокожих животных, имеющих хобот» — это одно и то же множе-

ство слонов.

Замечание. Способ задания множества путем указания характеристического свойства должен быть адекватным, т. е. должен полностью

определять множество.

Например, рассмотрим следующие совокупности:

Если совокупности À è B определены неоднозначно, т. е. в качестве элементов как из À, òàê è èç B разные люди могут рассматривать, вообще говоря, разных студентов, то определить студенток совокупности С на-

столько трудно, что даже не стоит пытаться это делать.

Замечание. Множество, состоящее из одного элемента {x} не следует путать с самим этим элементом x.

Это можно пояснить исходя из следующего соображения. Множество {x}, которое можно определить как {z : z = x}, состоит ровно из одного элемента x, а элемент x сам может оказаться множеством, содержащим сколько угодно элементов или вообще без элементов, т. е. пустым множеством .

Например, если рассмотреть множество групп студентов на филологи- ческом факультете, то элементами такого множества являются другие множества, а именно множества, составленные из студентов конкретных групп. В частности, {{1, 2}, {2, 3}} — это двухэлементное множество, составленное из двух разных элементов {1, 2} и {2, 3}, поэтому множество {{1, 2}, {2, 3}} не совпадает с множеством {1, 2, 3}. В силу сделанного замечания, пустое множество , которое можно, например, определить как {x : x x}, и множество вида { } — это совершенно разные множества. Первое — это пустое множество, не содержащее ни одного элемента, а второе — не пусто, его единственным элементом является само пустое множество, т. е. { }. В частности, { } — это единственный элемент непустого множества вида {{ }}, т. е. { } {{ }}.

Драматические сомнения, составившие главную тему тютчевского «Silentium!» (Молчание!) — это, по существу, философская рефлексия над словом: «Другому как понять тебя?» Даже если нечто и существует, то как передать или растолковать это другому? Например, можно ввести в рассмотрение пустое слово, совсем не содержащее букв, рассуждая о нем так, как если бы для его осуществления не существовало бы никаких препятствий. Такую манеру рассуждений называют абстракцией потенциальной осуществимости,

25

где слово «абстракция» означает отвлечение. Вся сложность в том, что абстрактные и отвлеченные методы применяются к живым, естественным языкам. Поэтому такие методы применяются в том случае, когда конкретные факты и характеристики языка поддаются математической обработке è

выявляют неявные аспекты самого языка.

Вопросы для самоконтроля

1.Верно ли, что в числовом множестве {9, 9, 10} не три, а только два элемента?

2.Можно ли утверждать для заданного множества Ì = {{5, 6, 7}}, ÷òî

5 Ì ?

3. Верно ли, что множества , { } и { , { }} — это три разных множества?

1.3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Введение понятия множества в математику оказалось очень полезным и плодотворным. Элементами множеств могут быть объекты различной природы, поэтому одни и те же утверждения, касающиеся множеств, можно истолковывать, например, и как утверждения о числах, è êàê утверждения о

лингвистических объектах.

Из множеств с помощью определенных операций, которые называются теоретико-множественными операциями, можно образовывать новые множества, подобно тому, как из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые числа. Задать операцию над множествами — это, прежде всего, значит указать способ как по двум заданным множествам A è B строить третье множество. Во всех операциях, которые мы будем рассматривать, вопрос о том, входит ли какой-либо элемент в построенное новое множество, полностью решается исходя только из того, в какие из множеств A è B он входит, а в какие — нет. Это требование входит в определение всех, рассматриваемых в этом разделе операций.

Изучение операций над множествами составляет предмет алгебры множеств, т. е. математической структуры, в которой определены некоторые отношения и операции. Алгебра множеств имеет много общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в чем существенно отличается от нее. В частности, тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к изучению нечисловых объектов, указывает на общность идей современной математики. Заметим, что математические понятия и теоремы теории множеств обладают большой общностью. Рассмотрим некоторые из них.

26