Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov
говорить только о том, что поддается высказыванию, и молчать об остальном. В мышлении многое зависит от слова, которое стоит на границе высказываемого. Мысль выявляет себя, поверяет себя и утверждает себя, соотносясь со словом. Цель языковой деятельности — это достижение взаимопонимания. Полная формализация естественных языков представляется априори невозможной, поскольку жесткое разграничение синтаксических и семантических неправильностей может быть только условным. Примеры подобного рода можно встретить среди парадоксов теории множеств, описанных на естественном языке. Настаивая на исключении из теории множеств таких противоречий, не следует всякий раз «поверять алгеброй гармонию» и пытаться втиснуть все многообразие противоречий в узкое ложе истины.
При изучении количественных закономерностей языка приходится встречаться с такими лингвистическими явлениями, как употребительность слова, длина буквосочетания, информационный вес слова и т. п., что может быть выражено с помощью числа и, следовательно, можно рассматривать в качестве математической величины. Определение целей и конкретного содержания курса «Основы высшей математики» для студентовфилологов связано с ответом на вопрос о том, зачем вообще люди многих поколений вот уже более двух с половиной тысяч лет занимаются математикой. Вот что сказал по этому поводу в эссе «Математический человек» выдающийся мыслитель немецкоязычной литературы прошлого века Роберт Музиль: «Математика есть роскошь, которую позволяет себе чис-
тый разум, — роскошь броситься вперед очертя голову. Одна из немногих, какие еще остались. Некоторые филологи тоже заняты предметами, польза которых сомнительна для них самих… А вот математики предаются
самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен че- ловеку, именно посреди этих проблем, в их средоточии»5. Математика представляет собой культурную ценность не только в лоне общечеловече- ской культуры, но и сама по себе, как важнейшая составляющая гумани- тарно-ориентированного научного мировоззрения. Знакомство с основами таких разделов математики XX века, как теория множеств и их отображений, классическая теория вероятности, финансовая математика и др., при создании специальной содержательно-методической линии, воспитывает у студентов-филологов высокую требовательность к полноценной аргументации, что, в свою очередь, способствует формированию устойчи- вых моральных принципов.
В пределах ограниченного по объему курса «Основы высшей математики», нельзя определить и доказать все необходимое с учетом математи-
5 Музиль Р. Малая проза. — М.: Канон-пресс-Ц, 1999. — Т. 2. — С. 302.
12
ческих сложностей основных ее принципов. В таких условиях основная методическая задача математики для филологов — это заинтересовать в расширенном университетском образовании, преодолев академизм теоретического материала. Например, «непостижимая эффективность математики» в современных науках — это расширение понятия реальности, лежащее в основе психологии математического творчества, обеспечивающее ему подлинную свободу. Ценивший «простоту» и «ясность» Стендаль говорил: «Я любил и теперь еще люблю математику ради нее самой, êàê íå
допускающую лицемерия и неясности — двух свойств, которые мне отвратительны до крайности». Для университетского образования характерно то, что студенты учатся благодаря своей активности. Полноценное обучение математике не индуктивно, оно включает в себя «проход через ошибки и заблуждения». На первых же занятиях по математике следует приучать студентов-гуманитариев не стесняться ошибок. Ошибки играют в математике не меньшую роль, чем доказательства. Ошибка в изучении новой теории вполне демократична, хотя некоторым «учебным» заблуждениям вполне можно придать методическую упорядоченность. Тем не менее эти ошибки полезно «пережить», чтобы знать, «куда ходить не надо». Даже негативные результаты в обучении математике студентов-гуманита- риев можно использовать как один из важных методических приемов университетского образования. Анализируя их причины и пути их преодоления можно более осознанно идти вперед. Поэтому отдельные примеры и упражнения курса «математики для филологов» ориентированы на выработку навыков исправления неточностей в формулировках, рассуждениях и доказательствах.
Готовая истина не способствует развитию творческого мышления. Даже в самой математике невозможно полностью вытеснить элемент человеческого понимания, заменив его алгоритмическими процедурами. Поэтому филологическая ориентация этого учебного пособия обусловила особое внимание к естественному языку, который используется в рассмотренных разделах математики. Важнейшая методическая проблема препо-
давания математики для филологов — это не проблема уровня строгости изложения, а проблема построения смысла. Абсолютная строгость, утверждал известный французский математик и лингвист Рене Том, возможна только благодаря отсутствию смысла, поэтому можно сказать, что понятия «строгости» и «смысла» дополнительны друг к другу. Естественный язык является наиболее фундаментальной и универсальной знаковой системой. В языкознании также говорят о дополнительности смысла некоторого высказывания и его формальной структуры. Образно говоря, излишне акцентированное внимание к анализу структуры высказывания может отдалить понимание его смысла, подобно тому, как это происходит при чтении по
13
слогам. Даже в математике понятие «математической структуры» не претендует на объяснение успехов математизированного мышления. Оно возникло из стремления к объединению математики, систематизации ее приемов и к установлению общих закономерностей, подчиняющих себе другие сферы деятельности, поскольку высшее назначение математики — «íàõî-
дить порядок в хаосе, который нас окружает».
Какой должна быть научная осведомленность любого человека с университетским гуманитарным образованием? Известный литературовед Ю. М. Лотман доказывал в своих работах, что художественный текст со свойственными ему образами, метафорами и ритмикой, несет в себе гораздо большую информацию, чем обычный текст, поэтому вне художественной структуры, созданной для этого произведения автором, трудно передать присущее ему содержание. Не слишком ли далеко зашла гуманитарная специализация в классическом университете? Не ограничивает ли она возможности сближения «двух культур» Чарльза Сноу? Наконец, должны ли классические университеты стремиться к воспитанию утраченной гармоничности? Наука обретает точ- ность на таком этапе своего развития, когда обнаружены законы, которым подчиняются изучаемые явления, допускающие строгую математическую формулировку. Именно поэтому в методологии языкознания и литературоведения должен закрепиться «срав- нительно-статистический метод» исследования в различных творческих проявлениях. В одном из своих последних интервью профессор Ю. М. Лотман признал, что «äëÿ íàñ
гораздо актуальнее введение в учебные планы гуманитарных факультетов курсов но-
вейшей лингвистики, семиотики, теории культуры, а также разработка специального курса математики для гуманитариев». Коренные вопросы жизни общества, считал он, будут решаться в сфере синтетической науки о человеке, которая потребует сложного синтеза гуманитарного и математического знания.
Математическому творчеству всегда сопутствует высокое эмоциональное напряжение и, как всякому творчеству, свойственно стремление к совершенству. Эти две черты роднят математику с поэзией, поэтому неудивительно, что математика может стать источником поэтического вдохновения. Свидетельством тому является финальное стихотворение загадочного цикла «Восьмистиший» Осипа Мандельштама «И я выхожу из пространства…». Оно поражает глубокими, возможно, не всегда осознанными связями математических образов и поэтического мышления Мандельштама. Не знал же он современную математику, в которой заметную роль играют «бесконечно мерные линейные пространства» и «неархимедовы величины». Не об отказе ли от поверхностных представлений о реальности говорит Осип Мандельштам с помощью вовлечения математики в поэзию:
И я выхожу из пространства |
И твой, бесконечность, учебник |
В запущенный сад величин |
Читаю один, без людей — |
И мнимое рву постоянство |
Безлиственный, дикий лечебник, |
И самосогласье причин. |
Задачник огромных корней. |
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Мысль о пространстве рождает «ах», оперу, взгляд в лорнет.
В цифрах есть нечто, чего в словах, даже крикнув их, нет.
Иосиф Бродский
Íаиболее важным характерным свойством современной математики является тенденция к формированию более высокой степени абстракции языка математики. Язык математики не только оказывает влияние на
познание, но и сам формируется в процессе изучения действительности как средство ее адекватного отображения с помощью соответствующих эффективных математических структур. Язык математики опирается на понятия, имеющие относительно ясное и устойчивое содержание, используемое в естественном языке.
Следует помнить о том, что понятия, лежащие в основании отдельных научных теорий, включая математические, по необходимости оста-
ются содержательно неясными до тех пор, пока эти теории способны развиваться. Каждое содержательное математическое понятие охватывает много объектов, имеющих какое-нибудь общее свойство. Следствия, выводимые из этого свойства в рамках некоторой абстрактной теории, можно применить к любому из указанных выше объектов. В качестве наиболее популярного примера обычно рассматривают понятие «множества». По мнению академика А. Н. Колмогорова, под современной математикой понимается такая концепция, которая может быть охарактеризована следующими двумя тезисами:
À. В основе всей современной теоретической (абстрактной) математики лежит чистая теория множеств.
Á. Специальные разделы математики занимаются структурами, причем каждый род структур определяется соответствующей системой
аксиом, выраженной на языке теории множеств.
Хотя математические теории, построенные с помощью формальных аксиоматических систем, обладают сами по себе достаточной точностью и надежностью, они ограничены принятыми средствами логического вывода, т. е. способами доказательства. Чтобы лучшие качества математиче- ских теорий эффективно проявились в лингвистике и литературоведении нужно точно определить сферу их приложений, а именно найти такую
15
адекватную область, где работа математического аппарата имела бы смысл и давала конкретные результаты. Вопрос о выборе наилучшего варианта аксиоматики теории множеств будет решаться исходя из соображения — насколько содержательной в прикладном плане окажется математика, построенная на данной теории множеств. Одна из первых попыток такого рода была предпринята математиком О. С. Кулагиной в работе «Об одном
способе определения грамматических понятий на базе теории множеств» (Проблемы кибернетики. М., 1958), в которой основная идея построения связана с понятием эквивалентности слов. Это сложная задача, требующая совместных творческих усилий математиков и лингвистов или будущих лингвистов-математиков.
Относительную медленность развития математической лингвистики можно объяснить тем, что область приложения лингвистики определилась очень давно и была стабильна в течение столетий, поскольку в ней не было «революционных открытий», сыгравших значительную роль в развитии человечества. Но во второй половине прошлого столетия положение коренным образом изменилось, поскольку требования, которые предъявляют к лингвистике компьютеры и люди, совершенно разные. В чем трудность взаимоотношения между традиционной лингвистикой и вновь вторгающимися в лингвистику идеями? Как сказал известный математик Р. Л. Добрушин: «Áîëü-
шинство современных лингвистов полагает, что новыми приложениями, новыми задачами и методами могут заниматься математики, техники,
физики — все, кто хочет, лишь бы только оставили в покое самих лингвистов и их науку»6. Среди лингвистов, сетует он, имеются лишь отдельные горячие приверженцы новых идей, хотя отношение к этим идеям большинства лингвистов напоминает испуг. В результате новыми областями лингвистики как побочным делом занимаются в основном математики и информатики, хотя в новой лингвистике, основанной не только на качественных методах рассуждения, но и на глубоком количественном изучении, много нерешенных проблем теоретического характера.
Для современной математики характерно использование языка теории множеств, опирающегося на здравый смысл, облеченный в математи- ческие символы. Не пользующаяся математическими символами человече- ская логика может запутаться в словесных определениях сложных явлений реального мира и сделать вследствие этого ошибочные выводы. Во второй половине XIX века в математическом мышлении определился математи- ческий объект, а именно «множество», занявший центральное положение в иерархии рассматриваемых математиками сущностей. Наступила эпоха
6Добрушин Р. Л. Математические методы в лингвистике // Математическое просвещение. — 1961. — Вып. 6. — С. 50.
16