Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Стрелядкин

Найдём циркуляцию магнитного поля вокруг бесконечного тока (см.

рис. 4.7):

B d l B dl cos 0 B dl B 2π r .

произвольной формы, независимо от того, в каком месте ток пронизывает контур.

В силу принципа суперпозиции теорема о циркуляции (её также называют законом полного тока) справедлива для произвольного числа токов,

где суммирование проводится по всем токам I1, I2…In, охваченных контуром. При этом справедливо правило знаков: если направление обхода контура

согласуется с направлением тока по правилу буравчика, то ток берём со знаком (+), противном случае со знаком (-). В частности, на рис. 4.8, токи имеют следующие знаки (+I1 - I2 - I3).

Рисунок 4.8 − При заданном направлении обхода контура L ток I1 в формуле (4.9) берем со знаком (+), а токи I2 и I3 − со знаком (−)

Применим теорему о циркуляции для расчёта магнитного поля тороида (см. рис.4.9). (Тороид это «бублик», на который намотан провод). Внутри тороида проведём воображаемый контур L2 с радиусом r2. Вследствие круговой симметрии, поле В во всех точках контура одинаково, а плоскость контура

где n=N/(2 r) – плотность намотки витков (число витков на единицу длины).

37

Рисунок 4.9 − Контур L2 охватил N витков тороида

Для поля вне тороида (контуров L1 и L2) по теореме о циркуляции получаем:

B d l B dl B 2π r1 μo 0 .

L1 L1

Откуда следует, что поле В=0 вне тороида (см. рис. 4.10).

Найдём магнитное поле бесконечно длинного соленоида (см. рис.4.10).

Рисунок 4.10 − Индукция магнитного поля вне соленоида равна 0, а внутри B=μ0∙n∙I

Этот случай можно получить из задачи о тороиде, полагая, что радиус тороида стремится к бесконечности. Поэтому поле бесконечного соленоида:

где n – плотность намотки витков (число витков на единицу длины).

4.6 Относительный характер электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля

Электрические и магнитные поля тесно взаимосвязаны. Изменение электрического поля вызывает изменение магнитного поля, а изменение магнитного, в свою очередь, вызывает изменение электрического поля.

Относительный характер электрической и магнитной составляющих в том, что в разных инерциальных системах отсчета электрическое и магнитное поля имеют разную величину.

Например, если в 1-ой системе есть неподвижный заряд, то в ней есть только электростатическое поле. Магнитного поля нет. Во 2-ой системе заряд уже будет движущийся, и кроме электростатического поля добавится и магнитное поле.

38

Далее мы рассмотрим действие магнитного поля на токи и движущиеся заряды.

4.7Закон Ампера

Впредыдущем разделе мы выяснили, как создаётся магнитное поле. Рассмотрим теперь действие магнитного поля на токи и движущиеся заряды.

Ампер установил следующий закон, который носит его имя.

На любой элемент тока I∙dl в магнитном поле индукцией B действует сила

Если ток протекает по протяженному проводнику, то его разбивают на элементы тока и складывают векторно все силы.

Рисунок 4.11 − Силу в законе Ампера находят по правилу буравчика. Ручку буравчика нужно поворачивать от первого вектора в произведении (4.11) ∙dl ко второму B. Направление смещения буравчика задаст направления векторного произведения

4.8 Взаимодействие параллельных проводников с током

На рисунке 4.12 показаны два прямых бесконечных тока I1 и I2, имеющих одинаковое направление и находящихся на расстоянии r0 друг от друга. Эти токи притягиваются. Найдем силу их взаимного притяжения, которая действует на каждый метр длины.

Первый ток I1 создает вокруг себя магнитное поле с индукцией B1=(μ0∙I1)/(2π∙r0), которое направлено перпендикулярно токам (см. рис.4.12). Это поле действует на каждый участок длиной dl второго тока с силой Ампера dF=I2∙dl×B1. Модуль этой силы равен: dF=I2∙dl∙sin90°=(I2∙dl∙μ0∙I1)/(2π∙r0). На каждый метр dl=1 действует сила, а именно:

По правилу буравчика можем найти, что эта сила направлена к первому току (см рис.4.12).

39

Рисунок 4.12 − Взаимодействие двух прямых параллельных проводников с токов

4.9 Действие магнитного поля на рамку или колечко с током

Предположим, что в однородном магнитном поле с индукцией B находится прямоугольная рамка, по которой течёт ток I (см. рис. 4.13).

Рисунок 4.13 − Рамка с током или колечко с током имеют магнитный момент Pm=I∙S, вектор которого в магнитном поле стремится развернуться вдоль вектора B

Найдём силы Ампера F, действующие на каждый участок рамки одна сторона которой длиной l, а другая а (см. рис.4.13). На участок 1-2 сила Ампера действует вниз, на участок 3-4 – вверх, а на участки 2-3 и 4-1 сила Ампера не действует вообще, т.к. для этих участков направление тока I и вектора индукции B совпадают (sin0°=0) или противоположны (sin180°=0).

Результирующая сила, действующая на рамку, равна нулю, поскольку силы F=I l B направлены в противоположные стороны. Однако эти силы создают вращающий механический момент сил M относительно оси, проходящей через стороны а:

M F a2 F a2 F a I l B a I S B Pm B ,

где Pm=I∙S - магнитный момент рамки с током.

В общем случае, когда рамка или колечко с током ориентированы под