Материал: Д6736 Вороненко БА Введение в математ моделирование

Из рисунка ясно, что скорость становится со временем все меньше и меньше, но никогда не обратится в нуль. В идеальных условиях даже через тысячу лет после толчка лодка будет двигаться по воде, но, конечно ее движение будет совершенно незаметно для глаз.

Это – то, что можно сказать сразу, что лежит на поверхности. Более тонкие и интересные выводы можно сделать, рассмотрев аналитическое выражение для решения. Оно представляет собой показательную функцию с отрицательным показателем степени. Из курса алгебры известно, что основным свойством этой функции является следующее: ее значения в точках оси абсцисс, взятых на одинаковом расстоянии друг от друга, образуют убывающую геометрическую прогрессию (если нумеровать точки слева направо). Иными словами, через один и тот же промежуток времени скорость будет убывать в одно и то же число раз.

Отсюда следует поразительный вывод. К нему можно прийти, если учесть, что путь, пройденный телом в течение промежутка времени, заведомо меньше длины этого промежутка, умноженного на скорость тела в начале промежутка. Значит, общий путь, пройденный телом за бесконечное время, будет меньше суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, членами которой будут произведения из двух сомножителей: постоянной длины промежутка времени и образующей прогрессию скорости в начальной точке промежутка. Сколько бы времени ни двигалось тело, оно не уйдет дальше определенной точки, но, наряду с этим, никогда не остановится! (Парадокс Д'Аламбера).

Долог путь поучений, короток и успешен путь примеров Сенека Младший

При изучении наук примеры полезнее правил И. Ньютон

21

6. ЗАДАЧА НА ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕЛ

Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач Р. Декарт

Температура вынутого из печи хлеба в течение τ1 = 20 мин падает от t0 = 100 °C до t1 = 60 °C (рис. 4). Температура охлаждающего воздуха tс = 25 °C. Через какое время от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до tк = 30 °С?

t, °C

100 А

60

В

30

25

0

Рис. 4. Зависимость среднеобъемной температуры тела при его охлаждении от времени процесса

Решение.

Скорость охлаждения тела представляет собой понижение температуры тела t = t(τ) в единицу времени и выражается производ-

ной . По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорцио-

нальна разности температур тела и окружающей среды. Это процесс неравномерный. С изменением разности температур меняется и скорость охлаждения тела.

22

Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет

где k – коэффициент пропорциональности, tc – температура среды. Выражение (1) точнее следует называть не законом, а уравне-

нием, формулой Ньютона, так как коэффициент k является сложной функцией многих переменных, он зависит от следующих факторов:

–скорости среды (жидкости, газа), обтекающей тело, ее плотности и вязкости, то есть переменных, определяющих режим течения жидкости;

–тепловых свойств жидкости (удельной теплоемкости, теплопроводности, коэффициента объемного расширения);

–тепловых свойств обтекаемого тела;

–геометрических параметров – формы и определяющих размеров, а также шероховатости поверхности тела.

Из этой сложной зависимости коэффициента пропорциональности k от многих параметров процесса следует, что простота уравнения (1) только кажущаяся. При его использовании трудности, связанные с определением количества тепла, передаваемого путем конвективного теплообмена, заключается в расчете величины k. В рассматриваемой задаче считаем коэффициент k постоянной величиной, которая должна быть задана непосредственно либо дополнительным условием, из которого коэффициент k может быть определен.

Уравнение (1) – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Оно аналогично дифференциальному уравнению, описывающему бесконечное замедление тела, движущегося в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Пусть τ – время охлаждения. Тогда, разделяя переменные, получим:

Интегрируя уравнение (2),

23

получаем:

где A – произвольная положительная постоянная. Из (4) следует общее решение уравнения (2):

Постоянную A определяем из начального условия t(0) = t0:

Окончательное решение уравнения (1), то есть закон охлаждения хлеба в условиях задачи, принимает вид:

Таким образом, получили зависимость температуры тела от заданных начальной его температуры и температуры окружающей среды, а также от длительности процесса охлаждения. Необходимо отметить, что в данном случае можно определить только усредненную по объему температуру тела, но невозможно найти, например, температуру в центре тела либо в какой-нибудь другой его точке.

24

Из закона изменения температуры (9) находим искомое время τк, необходимое для охлаждения хлеба от начальной его температуры t0 до конечной tк:

Замечание: если считать охлаждение тела происходящим по линейному закону (прямая АВ на рис. 4), получим искомое время охлаждения, равное 35 минутам, что, очевидно, ошибочно и недопустимо.

7. НАХОЖДЕНИЕ ЗАКОНА НАГРЕВА ТЕПЛООБМЕННИКА ПРИ ПОСТОЯННОМ

ПРИТОКЕ ТЕПЛОТЫ

Теплообменники обеспечивают передачу теплоты между двумя или бльшим числом потоков теплоносителей, проходящих через аппарат. Основной характеристикой конструкции теплообменника является тип относительного движения потоков теплоносителей, взаимная геометрия этих течений.

Наиболее общие типы конструкций течений:

1)противоток (два теплоносителя движутся параллельно друг другу, но в противоположных направлениях, рис. 5); противоточные теплообменники наиболее эффективны, поскольку обеспечивают наилучшее использование располагаемой разности температур, в них также может быть достигнуто наибольшее изменение температуры каждого теплоносителя;

2)параллельное однонаправленное течение;

3)перекрестный ток;

4)перекрестный ток с противотоком и другие.

25