Материал: Д6736 Вороненко БА Введение в математ моделирование

F1 = Р1ω; F2 = Р2 ω;

площадь этих сечений ω = π; площадь трения боковой поверхности выделенного концен-

трического слоя S = 2πrL;

Fтр – сила трения на этой поверхности.

Согласно закону Ньютона для внутреннего трения

Fтр = – μ S ,

где μ = νρ – коэффициент динамической вязкости жидкости. Тогда уравнение (1) примет вид

πР1 – πР2 + μ 2πrL = 0,

или

сательные напряжения сдвига, возникающие на границе слоев жидкости, движущихся относительно друг друга. Первый индекс у касательных напряжений обозначает ориентацию площадки, в которой действуют касательные напряжения, а второй индекс определяет направление действия этих напряжений.

Тогда из формулы (2) имеем

мость касательного напряжения сил трения τ от r: при r = R, τ = τmax;

при r = 0 τ = 0.

Разделяя переменные, представим уравнение (2) как

Поскольку при r = R V = 0, то из уравнения (4) постоянная ин-

которое является искомым законом распределения скорости жидкости по сечению круглой цилиндрической горизонтальной трубы.

Из уравнения (5) находим максимальную скорость несжимаемой жидкости (скорость на оси трубы, когда r = 0):

8.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АТМОСФЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ ВОЗДУХА

ВЗАВИСИМОСТИ ОТ ВЫСОТЫ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

При равновесном состоянии газа хаотическое тепловое движение его молекул приводит к тому, что газ равномерно распределяется по всему занимаемому им объему, то есть в каждой единице объема в среднем содержится одинаковое число молекул. Однако, если газ находится в поле внешних сил, то распределение его молекул по занимаемому им объему может быть и неоднородным.

Рассмотрим газ, находящийся в поле сил тяжести.

Обозначим высоту над определенным уровнем (например, моря) через h, давление воздуха через p. Задача состоит в том, чтобы отыскать функцию p = р(h), описывающую зависимость давления от высоты (рис. 7).

Выделим мысленно в атмосфере вертикальный призматический столб с площадью поперечного сечения S, равной единице.

Давление на горизонтальное основание призмы площадью S, находящееся на высоте h, определяется весом столба воздуха над сечением. Проведем второе горизонтальное сечение на высоте (h + ∆h).

32

Рис. 7. К задаче распределения атмосферного давления по высоте

Давление в этом сечении будет меньше на величину ∆р, равную весу воздуха в столбе между двумя сечениями. Поэтому можно написать:

где ρ – плотность воздуха на высоте h, g – ускорение свободного падения (ρg = γ – удельный вес воздуха на высоте h).

При условиях, близких к нормальным (то есть при давлении порядка 105 Па и температурах, близких к 0 °С), воздух довольно хо-

рошо подчиняется уравнению состояния идеального газа ρ = , где – молярная масса газа (воздуха); R – молярная газовая постоянная (или просто газовая постоянная), R = 8,31; Т – термодина-

мическая температура.

Подставляя в (1) выражение для ρ из последнего уравнения, получим соотношение

где k = – коэффициент пропорциональности.

Равенство (2) является неточным: здесь предположено, что во всех сечениях между h и h + ∆h давление постоянно и равно p. На са-

33

мом же деле давление в этих сечениях различно и падает с увеличением h. Однако функцию p = p(h) естественно предположить непрерывной, поэтому ошибка равенства (2) невелика и будет тем меньше, чем меньше величина ∆h. Если разделить обе части (2) на ∆h и перейти к пределу при ∆h , то ошибка в нем также будет стремиться к нулю, и получится уже точное равенство

Равенство (3) – обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее неизвестную (искомую) функцию p(h) и ее производную. Решением этого уравнения и будет функция, выражающая зависимость давления воздуха p от высоты h, то есть р(h). Уравнение (3) – известное уже по вышерассмотренным задачам – уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Здесь уместно напомнить мысль В.И. Ленина из его работы «Материализм и эмпириокритицизм»:

«Единство природы обнаруживается в поразительной аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям знаний».

При решении уравнения (3) пренебрегли зависимостью g от h (на высотах до 10 км от поверхности Земли), а также рассмотрен случай, когда температура с высотой не изменяется, то есть атмосфера изотермическая (по сравнению с температурой, равной примерно 300 К, относительное изменение температуры невелико).

Для того, чтобы достичь полной определенности, необходимо знать С, что достигается при каком-либо значении h. Положив h = 0, получим С = р0, где р0 – атмосферное давление на высоте, принятой за начало отсчета (например, уровень моря).

Таким образом, для изотермической атмосферы зависимость давления от высоты определяется формулой

которая называется барометрической формулой.

34

Формула (5) позволяет определять довольно точно высоту, измеряя давление. Предназначенный для этой цели проградуированный в значениях высоты барометр называется альтиметром.

Преобразуем показатель степени в формуле (5), используя следующие равенства

где NA = 6,02.1023 моль–1 – постоянная (число) Авогадро, m – масса молекулы; k = 1,38.10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Из последних равенств следует, что М/R = m/k.

Кроме того, учтем, что давление р = nkT, р0 = n0kT, где n – число молекул в единице объема газа, т. е. концентрация молекул газа на высоте h, n0 – концентрация молекул на высоте h0 = 0.

Таким образом, барометрическая формула преобразуется в соотношение

На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии:

Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии.

С учетом (7) формула (6) записывается в виде важной физической закономерности, называемой распределением Больцмана:

9. ИМПУЛЬСНОЕ ВЫСОКОВОЛЬТНОЕ РАЗМОРАЖИВАНИЕ ПИЩЕВОГО МАТЕРИАЛА

В настоящее время в пищевой промышленности актуальна проблема размораживания продуктов. Например, в России доля продукции из замороженной рыбы составляет более 70 %. При этом чем дольше длится процесс размораживания, тем больше структура тканей отличается по качеству от первоначального состояния. Поэтому эффективными являются разработанные аспирантом института холода и биотехнологий НИУ ИТМО О.В. Бычихиным способ и устройство

35