Материал: Д6736 Вороненко БА Введение в математ моделирование
T1вых
T2вых
T2вх
T1вх
Рис. 5. Схема движения потоков теплоносителей:
1 – одиночная труба относительно малого диаметра, расположенная внутри трубы большого диаметра 2; один теплоноситель течет во внутренней трубе (Т2), другой – в кольцевом пространстве 2 между двумя трубами (Т1); Т – температура,
вх – условия на входе, вых – условия на выходе теплообменника
Для того чтобы рассчитать характеристики теплообменника, необходимо задать схему движения теплоносителей в нем, установить расходы теплоносителей по выбранным направлениям и определить значения термических сопротивлений передаче теплоты от одного теплоносителя другому в каждой точке объема теплообменника. После этого отыскание распределения температуры в отдельных потоках является чисто математической операцией.
Задача 1.
Рассмотрим задачу нахождения простейшего закона нагрева теплообменника при постоянном притоке теплоты.
Решение.
Пусть Т – температура наружной поверхности теплообменника; dT – изменение температуры отопительного аппарата в тече-
ние времени dt;
m – масса аппарата;
с – удельная теплоемкость материала аппарата; α – коэффициент теплоотдачи (теплообмена) от поверхности
аппарата;
Q – количество теплоты, поступающей в теплообменник в единицу времени;
26
S – поверхность теплообмена ( теплоотдачи) аппарата; Т1 – наружная температура (температура среды);
Т – Т1 – превышение наружной температуры теплообменника над температурой среды.
Требуется найти закон Т(t).
В течение времени dt происходят следующие процессы:
а) в теплообменник поступает количество теплоты, равное Qdt; б) количество теплоты в аппарате изменяется на величину,
равную mcdТ;
в) отдается в окружающую среду количество теплоты, равное величине αS (T–T1)dt.
Суммируя эти количества, получаем уравнение теплового баланса (применение закона сохранения энергии к тепловым процессам):
mcdТ + αS(T–T1)dt = Qdt, |
(1) |
||||||
или |
|
||||||
|
|
+ |
|
(T–T1) = |
|
. |
(2) |
|
|
|
|
||||
Полагая а = αS/(mc) и b = Q/(mc), получаем дифференциальное уравнение процесса (2) в следующем виде:
+ a(T–T1) = b. |
(3) |
Разделяем переменные, преобразуя при этом левую часть уравнения (3) так, чтобы в числителе получился дифференциал знаменателя:
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= dt. |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя (4), получаем:
ln[b |
, |
(5) |
где С1 = соnst 
0, откуда следует
27
T – T1 = 
+ C
,
где С = – 
.
Используя начальное условие Т = Т1 при t = 0, получаем
С = – b/а.
Тогда уравнение процесса примет вид:
T – T1 = |
|
(1 – |
|
), |
(6) |
|
|
||||
|
или, подставляя значения а и b, имеем:
T = T1 + |
|
(1 – |
|
|
|
). |
(7) |
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим этот закон ((7) или (6)).
При |
T T1 + b/а = Тк , где Тк – конечная температу- |
|||||||
ра теплообменника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (6) может быть записано в виде |
|
|||||||
|
T(t) = Тк – |
|
|
|
|
|
. |
(8) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
Если Т1 = 0, |
то Тк = b/а и (8) будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
T = Tк (1 – |
|
|
). |
(9) |
|||
|
|
|||||||
Подставляя в уравнение (9) значение t = 1/а = τ, которое называется постоянной времени, получим:
T = Tк (1 – |
|
) = 0,63 Tк. |
(10) |
|
Задача 2.
В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна начальной его массе 
. Первоначальная масса фермента а в течение часа удвоилась. Во сколько раз она увеличится через 3 часа?
28
Решение.
По условию задачи дифференциальное уравнение процесса
= k , |
(1) |
где t – время, k – коэффициент пропорциональности.
(1) – уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение
= C , |
(2) |
где С = const 
0.
Из начального условия (при t = 0 
=a) имеем C = а. Поэтому частное решение имеет вид
= а . |
(3) |
Коэффициент k определяется из дополнительного условия:
при t = 1ч 
= 2а.
При этих условиях из (3) следует k = 
.
Таким образом, окончательно получаем закон, которому подчиняется данный процесс, в виде
|
|
= а , |
(4) |
где τ = |
|
. |
|
|
|
||
Из (4) получаем требование задачи: при t = 3ч |
= 8 а, т. е. |
||
спустя 3 часа от начала процесса масса фермента увеличится в 8 раз.
Задача 3 для самостоятельного решения. Пусть при постоян-
ной температуре скорость растворения твердого тела в жидкости пропорциональна массе этого вещества, еще могущего раствориться до полного насыщения жидкости. Найти закон зависимости массы растворившегося вещества от времени.
Ответ: 
= P (1 – 
),
где 
– масса растворившегося вещества; Р – масса вещества, дающая насыщенный раствор; t – время; k – эмпирический коэффициент пропорциональности.
29
Задача 4.
Найти закон распределения скорости по сечению круглой цилиндрической горизонтальной трубы радиусом R при равномерном движении несжимаемой жидкости в ламинарном режиме.
Решение.
Рассмотрим ламинарное (струйчатое) течение несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе (рис. 6): R = const; плотность жид-
кости ρ = const; число Рейнольдса Re = 
2300; V – скорость жид-
кости; d = 2R – диаметр трубы; ν – коэффициент кинематической вязкости.
Выделим сечениями 1 – 1 и 2 – 2 объем движущейся жидкости длиной L (рис. 6).
1 |
У |
2 |
|
|
P1 |
V=const |
Fтр |
P2 |
|
F1 |
F2 |
|||
|
r |
|||
|
|
Х |
||
|
R |
|
|
|
1 |
L |
2 |
|
|
Рис. 6. Расчетная схема задачи |
|
|||
Обозначим давление жидкости в плоскости сечений 1–1 и 2–2 соответственно через Р1 и Р2.
Внутри жидкости выделим концентрический слой радиусом r. Пусть сила трения со стороны соседних струек на выделенную
равна Fтр.
Уравнение равновесия для определенной таким образом элементарной струйки в проекции на ось Х будет
F1 – F2 – Fтр = 0, |
(1) |
где F1, F2 – силы давления в соответствующих сечениях:
30