Материал: Shpora_Po_Geodezii

[l] – nL = [v]

А из формулы L = l1+l2….+ln/n = [l]/n следует. Что

[v] = 0

Величины v нызывают уклонениями от арифметической середины, или вероятнешими ошибкамию

Средняя арифметическая величина обладает ещё тем свойством, что сумма кважратов уклонений от неё всех чисел, из которых она вычислена, меньше суммы квадратов уклонений тех же чисел т любого другого числа.

23. Средняя квадратическая ошибка измерения. Формула Гаусса. Абсолютная и относительная ошибка. Предельная ошибка.

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены.

Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность

где п — число измерений данной величины. Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются

редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, — арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

m, вычисляемая по следующей формуле:

где б — отклонения отдельных значении измеренной величины ог арифметической средины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [б] = 0. Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность определяется по формуле

где т — средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (5.1) или (5.2). Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается

среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность

а среднего результата из двух измерений одного измерения

где d — разность двукратно измеренных величин; n —

число разностей (двойных измерений). В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ±т; в интервал от 0 до ±2т попадает 95,4 %, а от 0 до ±3т — 99,7 % погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3т. На основании этого в качестве предельной погрешности "дельта"пр для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. "дельта"пр = 3т. На практике во

многих работах для повышения требований точности измерений принимают "дельта"пр = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосходят "дельта"пр, считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при ml = 2 см равна тl/1 = 1/5500, а относительная предельная погрешность при "дельта"пр = 3т = 6 см "дельта"пр/l= 1/1800.

24. Оценка точности равноточных измерений. Ошибки функций измеренных велечин. Ошибка арифметической средней. Формула Бесселя.

Равноточные – измерения выполняются в одинаковых условиях: приборами одинаковой точности, исполнителями одинаковой квалификации, одними и теми же методами и равное число раз, при одинаковых условиях внешней среды.

Наилучшим критерием оценки точности измерений принято считать среднюю квадратическую погрешность (СКП) измерения, определяемую по формуле Гаусса:

где _i=li-X (Х - истинное значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

Так как, в большинстве случаях истинное значение неизвестно, то СКП определяют по формуле Бесселя:

где _i=l_i-х (х - средняя арифметическое значение или вероятнейшее значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

СКП арифметической середины:

Эта формула показывает, что СКП арифметической середины в n раз меньше СКП отдельного измерения.

Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

Пусть известна функция общего вида

z = f (x,y,...,t),

где x,y,...,t - независимые измеренные величины, полученные с известными средними квадратическими погрешностями (СКП).

Тогда СКП функции независимых аргументов равна z корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функций по каждому из аргументов на СКП соответствующих аргументов, т.е.

(*)

Если функция имеет вид

z = x + y + ...+ t,

то

Для функции

z = k₁x + k₂y + ...+k_nt,

где k₁,k₂,k_n - постоянные величины,

Пример 1.Определить СКП превышения, полученного по формуле h=d^. tg, если горизонтальное проложение d=100.0 м, =4 30', m_d=0.5 м, m=1'.

Решение.

1.Находим частные производные

dh/dd = tg, dh/dv=d/cos².

2.По формуле (*) получаем

м

Пример 2. Определите с какой СКП получена площадь здания прямоугольной формы, если его длина и ширина соответственно равные 36 и 12 м измерены с СКП 1 см.

Решение.

Площадь здания P = a ^. b.

Так как (dP/da)=b,

dP/db=a, m_a=m_b=m_a,b, то

м²

25.Принципы организации геодезических работ. Методы построения плановых геодезических сетей(триангуляция, трилатеряция, полигонометрия).

Геодезическая сеть  это совокупность закрепленных и обозначенных на местности пунктов, плановое положение и высоты которых определены в единой системе координат и высот путем геодезических измерений.

Геодезические сети строятся в научных целях, а также для изучения и освоения территории страны, в том числе для съемки и изысканий для проектирования и проведения хозяйственных мероприятий: строительства, мелиорации и т.д.

Геодезические сети подразделяются по назначению на плановые и высотные. По точности измерения, площади размещения и плотности пунктов геодезические сети подразделяются на государственные, местные  сети сгущения и съемочные.

Общие сведения о плановых геодезических сетях

Одной из главных задач геодезии является определение с заданной точностью координат сравнительно небольшого числа специально закрепленных на земной поверхности точек  геодезических пунктов.

Геодезический пункт состоит из центра, являющегося носителем координат, и геодезического знака, обозначающего положение центра на местности и обеспечивающего взаимную видимость смежных пунктов сети. Центр призван надежно и долговременно сохранять неизменным положение своей основной детали  марки центра, к метке которой относятся координаты пункта.

Систему геодезических пунктов, положение которых определено в общей для них системе геодезических координат, называют плановой геодезической сетью.

Для определения координат пунктов сети между ними измеряют расстояния и углы. Отрезки линий, ограниченные геодезическими пунктами, вдоль которых измеряется длина или направление, называют сторонами сети.

Каждый следующий пункт геодезической сети, начиная со второго, должен быть связан с предшествующими пунктами не менее чем двумя измеренными элементами (горизонтальными углами, длинами сторон, дирекционными углами).

Геодезическую сеть создают таким образом, чтобы ее стороны образовывали простые геометрические фигуры, удобные для решения, т.е. определения всех их элементов, а по ним – координат вершин. Различают три основных метода построения плановых геодезических сетей.

1. Триангуляция  построение геодезической сети в виде системы треугольников, в которых измерены углы и некоторые стороны, называемые базисными, или просто базисами (рис.1).

Рис. 1. Триангуляция

В основе метода триангуляции лежит решение треугольника по стороне и двум углам  теорема синусов. Многократное последовательное применение этой теоремы к треугольникам триангуляционной цепи, в которой каждый последующий (i + 1)-й треугольник связан с предшествующим i-м общей стороной (см. рис. 1), приведет к следующим выражениям

,

где  связующая,  промежуточная стороны i-го треугольника.

2. Полигонометрия  построение геодезической сети путем измерения расстояний и углов между пунктами хода (см. рис. 2).

В полигонометрии система геодезических пунктов образует полигон-многоугольник, который может быть замкнутым или разомкнутым (рис. 2). Измеряемыми элементами являются стороны полигона и его углы или дирекционные углы .