Материал: Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Величину Am называют комплексной амплитудой.

Дифференцирование и интегрирование выражения (3.40) приводит к соотношениям:

d		j t				j t
	Ame		j Ame				;
	Ame		j Ame				;
dt									(3.42)
		j t		1				j t	(3.42)
		j t		1				j t
Ame			dt		Ame				.
Ame			dt	j	Ame				.

Соотношение (3.40) обладает следующим свойством: по любой из трех составляющих этого выражения можно восстановить две другие. Угловая частота, как правило, бывает задана. Такими же свойствами характеризуются и выражения системы (3.42).

Можно утверждать, что при известной частоте ω полную информацию обо всех составляющих выражения (3.40) имеет комплексная амплитуда (3.41).

Очевидны еще следующие свойства (3.40):

суммированию комплексных функций слева соответствует суммирование комплексных функций справа;

умножению левой части на постоянный множитель соответствует умножение правой части на тот же множитель.

Установленные свойства позволяют вести речь об однозначном соответствии между мнимой частью уравнения (3.40) слева и комплексной амплитудой справа:

	j	.	(3.43)
Am sin t Am Ame

Это означает, что при математическом исследовании электрической цепи синусоидального тока операции с синусоидальными функциями можно заменить операциями с комплексными числами (комплексными амплитудами).

Соотношения (3.42) определяют аналогичные (3.43) соответствия для производной и интеграла:

sin t j A

j A e

;

(3.44)

sin t dt

e j .

j m

В целом формируется так называемое линейное преобразование, в котором основную роль играют операции с комплексными числами.

При расчете электрических цепей используются комплексные амплитуды напряжений, токов, ЭДС и других представляющих интерес величин. При этом имеют место следующие соответствия:

		j	;
Um sin t Um Ume			;
	Ime j ;		(3.45)
Im sin t Im	Ime j ;		(3.45)

Em sin t Em Eme j .

Для иллюстрации особенностей использования комплексных соотношений обратимся к схемам рис. 3.7.

Для активно-индуктивной цепи (см. рис. 3.7, а) справедливо уравнение

(3.24):

ri L di	u .	(3.46)
dt

В соответствии с выражениями (3.44) и (3.45) представим уравнение (3.46) в комплексной форме, используя понятие комплексных амплитуд:

rIm j LIm Um.	(3.47)
Преобразуем уравнение (3.47) и получим равенство:
r j L Im Um	(3.48)
или
ZIm Um ,	(3.49)

где Z r j L r jxL – сопротивление цепи в комплексной форме, или

комплексное сопротивление. Это сопротивление записывается также и в показательной или экспоненциальной форме:

Z r jxL	r2 xL2 e j arctg	xL	ze j ,
		r		(3.50)

где z	r2 xL2 – установленное ранее полное сопротивление. Следовательно,
полное сопротивление z является модулем комплексного		сопротивления Z;
φ – угол сдвига фаз между напряжением и током.
Появилась также величина
	j L jxL ,	(3.51)

которая называется индуктивным сопротивлением в комплексной форме.

Итогом решения задачи является комплексная амплитуда тока

Im	Um	Ume j	Um e j( ) Ime j .	(3.52)
	Z	ze j
			z

По комплексной амплитуде тока записывается мгновенное значение тока:

i Im sin t .					(3.53)
В случае цепи r, C (см. рис. 3.7, б) имеют силу соотношения:
ri uC u;
		C
u		1		idt;	(3.54)

C
ri	1		idt u,

	C

на основе которых формируется уравнение для комплексных амплитуд:

rIm

j C

Im Um ,

(3.55)

преобразуемое в выражение

ZIm Um ,

(3.56)

e j arctg

где Z r

r j

r jx

r ze j .

j C

Здесь

снова

2 x2

–

полное сопротивление

активно-емкостной

цепи; arctg

– угол сдвига фаз.

Комплексная амплитуда тока
				Im		Um		Ume j	.	(3.57)
				Im			Z		.	(3.57)
							Z	ze j
Параметр	jx	j	1		1		в данном случае представляет емкостное
Параметр	jx	j					в данном случае представляет емкостное
	C		C		j C
			C		j C

сопротивление в комплексной форме.

В операциях с комплексными числами полезно понимание следующих соотношений:

e j90 cos90 j sin90 j;
e j90 cos90 j sin90 j;			(3.58)
1	1	e j90 j.
	e j90
j

Например, емкостное сопротивление было записано в двух формах:

jx	j	1	1	,	(3.59)

C		C	j C

т. е. использовалось вытекающее из системы уравнений (3.58) правило: 1j j .

Равенство j e j90 показывает, что умножение комплекса на j определяет поворот соответствующего этому комплексному числу вектора на 90º в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Умножению наj e j90 , наоборот, соответствует поворот вектора на 90º по часовой стрелке.

3.4. Действующие значения синусоидальных напряжения и тока

Математически действующее значение функции представляет собой ее среднеквадратичное значение

	1	T
F		f 2 (t)dt .	(3.60)
	T
		0

Аналогично выражаются и действующие значения электрических величин: 73

	1				T	2
	1				u	2	(t)dt ;
U		T			u		(t)dt ;
				0			(3.61)
			T				(3.61)
	1		T
I	1		i2			(t)dt ,
I			i2			(t)dt ,
	T			0
				0

где u, i – мгновенные значения напряжения, тока; T – период функции.

Пусть, например, напряжение представляется в виде u Um sin t . Подстановка этой функции в уравнения (3.61) приводит к уравнению:

Um2 sin2 t dt

UTm 12

1 cos2 t dt

(3.62)

U 2

m dt cos2 tdt

m T

Второй интеграл под корнем в формуле (3.62) равен нулю как определенный интеграл от периодической функции на целом числе периодов.

В итоге действующее значение отличается от амплитудного в 2 раз. Полученный результат справедлив для действующего значения любой

физической величины, изменяющейся по синусоидальному закону:

U Um ;
			2
	I		2
	I		m
I			m	;		(3.63)
I			2	;		(3.63)
			2
		Em
E		Em			.
E					.
			2

Действующие значения электрических величин широко используются в электротехнике, поскольку тепловое действие тока, силы взаимодействия контуров с токами, электромагнитные моменты электрических машин и ряда силовых электромагнитных устройств переменного тока обусловлены именно действующими значениями токов.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия