Материал: Hydrogeodynamics101

a

JU-LM

JLt

JL—L

JUUL

.jL/ /. LJ /.

_Г1~т-т~1р_ГТТ7

Г! ГГ

‘с'^т '

(3.79)

Заменим плоскорадиальное движение к скважине че­тырьмя плоскопараллельными потоками от соседних бло­ков, причем для соблюдения условия эквивалентности (аналогично изложенному в разделе 3.4) напор в скважи­не Н заменим на усредненный напор в квадратном блоке Н_ф:

бс^=4Г“дЗ^ Ах, или Я.-Я_ф=^. _{(3 80)}

Следовательно, местные потери напора, вызванные радиальным характером движения вблизи скважины, со­ставят:

Х,„М-0,25

Q /, Л \

ЛЯ =Я_А—Я = ^с

(3.81)

с ф С у

Соответствующее дополнительное фильтрационное сопротивление, которое необходимо подключить к узло­вой точке со скважинной, равно:

^дя, 1 (1 , д* „

In— 0,25

с

(3.82)

Для скважины с заданным расходом от дополнитель­ного сопротивления можно отказаться, помня, что в узло­вой точке тогда замеряется потенциал, отвечающий сред­нему напору в блоке Нф. Для определения напора в сква­жине Н_с используется формула (3.81).

Контурные системы скважин, как и в случае сплош­ных моделей, легче всего моделируются в постановке, упрощенной с помощью метода эквивалентных фильтра­ционных сопротивлений (более подробно об этом расска­зано в разделе (8.2).

Не вызывает принципиальных трудностей и учет ин- фильтрационного питания или взаимодействия водонос­ных пластов через разделяющие слои. Так, в последнем случае достаточно соединить соответственные узловые точки двух сеток, отвечающих водоносным пластам, электрическими сопротивлениями, эквивалентными фильтрационным сопротивлениям элементарных блоков

в пределах разделяющего слоя (учитывая, что фильтра­ция в нем идет вкрест напластования).

В целом сеточные модели позволяют эффективно изучать движение подземных вод в существенно более широком круге условий, нежели простейшие бумажные модели. Упомянем, в частности, три важных момента:

|Г в отличие от бумажных моделей легко имитиру­ются неоднородные фильтрующие среды;

[1Г сеточные модели позволяют довольно просто оценивать нелинейные процессы, в которых, например, проводимость зависит от величины (искомого) напора: для этого значения фильтрационных сопротивлений изменяют­ся по ходу решения задачи с тем, чтобы они оказались отвечающими изменениям мощности (или, в более общем случае, — проводимости) потока в отдельных расчетных точках (более подробно этот вопрос освещен в разделе 8.3); на сеточных моделях обычно гораздо проще реша-

ютсяобратные задачи, связанные с необходимостью подбо­ра элементов модели по ходу решения (см. раздел 7.2).

Добавим, наконец, что, как правило, именно на сеточ­ных моделях имитируется и нестационарная фильтрация, что позволяет говорить в определенном смысле об их универсальности.

Контрольные вопросы

|~Т~] Каким основным фильтрационным параметром характе­ризуется стационарное плановое движение подземных вод? Почему подобным параметром нельзя описывать стационарное перетекание через разделяющий пласт? Объясните с физических позиций, почему в уравнениях стационарной фильтрации никак не отражены емкост­ные свойства пород?

[ 2 [ На основании формул (3.9), (3.10) и соответственно (3.3) и (3.4)покажите формальную аналогию между решениями идентич­ных задач стационарной фильтрации в напорной и безнапорной по­становках (см. также формальную подстановку (2.38а)).

Объяснить с физических позиций возникновение проме­

жутка высачивания на границе безнапорного потока.

Подумайте, как качественно связана величина промежутка вы­сачивания с мощностью потока вблизи границы, с удельным расхо­дом потока, с проницаемостью пород?

[~4~| Что отражает потенциал Гиринского? Указать ориентиро­вочные пределы его применения для расчетов движения в слоистых толщах. Записать выражение потенциала Гиринского для участка водоносного горизонта, представленного тремя однородными просло­ями.

5 Как можно охарактеризовать вид депрессионной поверх- ностйоезнапорного плоскопараллельногопотока? Меняется ли гра­диент вдоль потока? Как качественно изменится вид депрессионной поверхности при наличии инфильтрации? Меняется ли расход под­земного потока от сечения к сечению?

[~6~| Для каких условий справедлива выведенная в разделе 3.2 зависимость для скважины в пласте с перетеканием? Как меняется градиент с удалением от скважины? Найдите выражение для оценки расхода потока в любом сечении. Как меняется расход в зависимости от расстояния до скважины на небольших удалениях от нее? Объяс- ните полученный результат физически.

Что называется напорно-безнапорной фильтрацией? Почему

решение для напорно-безнапорного движения, полученное С помощью метода фрагментов, применимо лишь для частного случая стационар­ного движения?

|8] В чем заключается сущность принципа суперпозиции? Ка­кую конкретную формулировку этого принципа можно предложить для расчета систем скважин? В чем суть метода отражений?

|9 I Объясните структуру формулы большого колодца и смысл понятия расчетного радиуса питания.

10. Почему метод сложения течений неприменим для нели­нейных задач? В чем трудности его применения при расчетах систем скважин с заданными уровнями? Как учитывается (благодаря этому методу) инфильтрационное питание?

11. Что физически отражает фильтрационное сопротивление? Как оно формально определяется? Запишите выражения для фильт­рационных сопротивлений исходя из решений одномерных задач, полученных в разделах 3.1.1, 3.1.2., 3.1.6, 3.2.1. Зависит ли фильт­рационное сопротивление напорного потока от понижения напора? Ответьте на тот же вопрос для безнапорного потока.

|~12] Кратко охарактеризуйте основные типы аналоговых моде­лей, используемых при изучении стационарной фильтрации. Какое условие должно выполняться при моделировании скважин на элект­ропроводной бумаге? Каковы основные условия при моделировании стационарной фильтрации на сетке электрических сопротивлений?

13 Для чего и как используется метод эквивалентных фильт­рационных сопротивлений при аналоговом моделировании? При мо­делировании каких задач стационарной фильтрации может наиболее эффективно использоваться этот метод? Ответьте на аналогичный вопрос применительно к принципу сложения течений.

В отличие от задач, рассмотренных в гл. 3, анализ нестационарных задач должен учитывать изменения ем­кости (а подчас — и других характеристик) водоносной системы во времени. Соответственно, среди основных фильтрационных параметров, описывающих поведение такой системы, появляются (наряду с водопроводимо- стью) коэффициенты гравитационной и упругой водоот­дачи или обобщенные параметры, характеризующие ско­рость распространения фильтрационных возмущений в водоносных комплексах, — коэффициенты уровнепро- водности и пьезопроводности (см. раздел 2.3).

I ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ПЛАНОВОЙ

й

| НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

ПРИМЕР. Рассмотрим развитие фильтрационного процесса применительно к простейшей задаче о скважине с постоянным рас­ходом, вводимой в работу в безнапорном водоносном горизонте вбли­зи реки. На рис. 4.1 показано положение депрессионной воронки на ряд последовательных моментов времени. В первые моменты (напри­мер, кривая 1) скважина откачивает воду непосредственно из пласта

• из той его зоны (ОА'В'В), в которой уже отмечены понижения уровней (напоров): здесь происходит упругое сжатие пласта (сраба­тываются его упругие запасы) и имеет место стекание свободной воды из верхней, осушенной зоны — АА'В' (срабатываются гравитацион­ные запасы пласта). Продолжающийся отбор воды скважиной может быть компенсирован в этих условиях лишь дальнейшим развитием процесса понижения уровней по глубине и по площади пласта. Со временем депрессионная воронка достигает реки (кривая 2), т.е. здесь возникает градиент напоров, обусловливающий поступление речных вод в пласт. Продолжающееся понижение напоров и соответ­ственно рост градиентов фильтрации, приводят к увеличению Подто­ка речных вод до тех пор, пока суммарное поступление воды из реки не сравняется с расходом скважины. С этого момента (кривая 3) весь водоотбор обеспечивается транзитным потоком от реки к скважине. Сам пласт при этом воды больше не отдает, напоры в нем не меняются

• наступает установившийся режим движения.

ВОПРОС. Как изменится схема развития фильтрационного процесса, если уровень в скважине снизится до отметки водоупора (точка 0)?

Рис. 4.1. Фильтрация к скважине вблизи реки

ЗАДАЧА. Попробуйте привести примеры условий фильтрации, в которых стационарный режим вообще не наступает.

Таким образом, для нестационарного режима движе­ния характерна сработка упругих (в случае напорного пласта) или упругогравитационных (в случае безнапор­ного пласта) запасов водоносных систем, сопровождае­мая изменением напоров во времени: Н - f(х, у, t). Соот­ветственно в уравнениях фильтрации появляются вре­менные производные с коэффициентами при них, отвеча­ющими упругой (для напорных пластов) или гравитаци­онной (для безнапорных пластов) водоотдаче . Решение этих уравнений, общий вид которых представлен выраже­ниями (2.22) или (2.33), является задачей существенно более сложной, чем в случае рассмотренных выше стаци­онарных процессов. С максимальным эффектом для этого используются методы операционного исчисления, осно­ванные, в частности, на интегральном преобразовании Лапласа или Лапласа-Карсона. Для одномерных уравне­ний с успехом используются также некоторые специальные подстановки, с помощью которых функция двух перемен­ных Н(х, t) или H(r, t) сводится к функции одной безразмерной переменной, объединяющей простран­ственную и временную координаты (так называемые автомодельные решения, основанные на преобразова­ниях подобия). С примеров такого рода мы и начнем ознакомление с методами решения нестационарных геофильтрационных задач.

1. Простейшие одномерные решения и пути

их использования для исследования двухмерных задач плановой фильтрации

1. Фундаментальное решение (задача о подпоре вблизи водохранилища)

Напорный водоносный пласт в прибрежной полосе водохранилища, урез воды в котором прямолинеен и про­стирается на большое расстояние в плане, представлен на рис. 4.2. Других границ пласта поблизости нет (схема полу ограниченного пласта). Считаем, что нам задано не­которое стационарное распределение исходных напоров в пласте Я/х). Пусть в момент (=0 уровень в водохрани­лище резко (условно-мгновенно) повышается на величи­ну А Я.°Требуется найти новое - нестационарное - распре­деление напоров для различных моментов времени t > 0.

Согласно зависимости (2.22а), исходное уравнение фильтрации имеет вид

*д²Н ^дН ^й дх² dt ’ (4.1)

где а — коэффициент пьезопроводности;

Я = Н(х, О;

ось х направлена нормально к урезу водохранилища.

Условие на левой границе пласта (при х = 0):

поп 1

московский 2

ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4

вод 4

О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 44

_/=^^а«.._с._й, ш 85

шшшш 145

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176

¹±шл ' 280

ДШш§ 443

Рис. 4.2. Развитие подпора вблизи водохранилища;

1 - исходное положение пьезометрической кривой; 2 - текущее новое положение

Выражения (4.1)- (4.4) дают полную математическую постановку задачи. Однако их удобно предварительно упростить, введя новую функцию:

(4.5)

AH(x,t)=H(x,t)-H_e(x),

отвечающую изменению уровня в сечении х на момент t Тогда исходное уравнение принимает вид

* д

(4.6)

а

Ь(^АД>-эт<^АЯ>-

Л

ВОПРОС. Почему при переходе от уравнения (4.1) к (4.6) в

левой части пропал член

д\

дХ‘

? Напомним, что режим исходного

потока считается стационарным.

Краевые условия для функции АН выглядят заметно

проще:

AH(0,t) ~ АН°\ Д#(оо,*)=0; ДЯ(л;,0)=0.

АН

Введя функцию АН=——. преобразуем уравнение (4.6):

АН⁰

♦ а² (Ан) _д (Ah) ^a dx^{2 dt} (4.6a)

при краевых условиях

A77(0,f) = 1; А Доо,*) = О; А Дх,0) = 0 (4.7)

Отсюда следует, что безразмерная функция АТТзависит от двух аргументов: х q a t, имеющих размерность соответственно длины L и Lr: AH=*f(x, a t). Как следует из Я-теоремы (см. раздел 1.7), филь­трационный процесс в данном случае должен описываться функцио­нальной связью между двумя безразмерными комплексами, а это возможно лишь при условии, что А77=/(А), щеЯ — безразмерный комплекс, составленный из упомянутых аргументов. С учетом раз­мерности последних понятно, что структура величины А определя­ется общим выражением (Ах/VaT ) ^п, где Ann — константы.

Этот простейший пример демонстрирует, кстати, полезность привлечения теории подобия к анализу и решению дифференциаль­ных уравнений, приводимых к безразмерному виду: тем самым вы­являются общая структура решения и минимальное число перемен­ных, полностью характеризующих изучаемый процесс.

Для исследования поставленной краевой задачи (4.6)-(4.7) вве- дем теперь простейшую безразмерную комбинацию: А = л/(2 Vat)n попытаемся найти решение уравнения (4.6), зависящее только от А: АН=АДА). С этой целью заменим производные по t и по х произ­водными по новой переменной А:

£(ДН) =!(Д-*(ДЯ)£ (^) =

= -ж(^дд)^#7=-М(^дд)^;

^(^Д/0=|(^ДЯ)М=|(^ДЙ)^ =

Подставляя полученные выражения в формулу (4.6), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению:

£|ЛЯ) ₊ 2А>Я)=0,

где Д#зависит только от одной переменной А, Введем и = =^(ДЯ); тогда

ff+2b=0-

уравнение с разделяющимися переменными:

— = -2А<*А.

и

Интегрируя, получаем

In См = —А^

где С — произвольная постоянная.

Переходя от функции и вновь к функции АН, имеем:

[Дя(А)] = .

Разделим переменные и проинтегрируем в пределах от А до <»:

СДя(А)|*=^ е~^ dz,

где под знаком определенного интеграла в правой части мы ввели новое обозначение z для переменной интегрирования (чтобы отли­чить ее от значения А нижнего предела интегрирования). Но условие А -* оо отвечает значению х -* оо, и, согласно второму из краевых условий (4.7), АН И-*00 “0. Поэтому последнее равенство упро­щается:

°о _ 2

СДя(А) = -/б *dz.

^{к }} О (4.9)

Для определения постоянной С воспользуемся значением АН при А = 0, т.е. при х *» 0. Тогда согласно первому из краевых условий (4.7) имеем

⁰⁰ —A

САЯ--fe -т d_z.

о

Определенный интеграл в этом равенстве — табличный, значе­ние его равно V$t72~ [16 J. Следовательно,

2 Дя⁰’

и решение (4.9) принимает вид

ML-A l -2 _й

г— J б uZ «

ДЯ° Я (4.10)

Функция, стоящая в правой части этого равенства и зависящая от нижнего предела интегрирования А, широко используется в раз­личных приложениях математики и физики. Для ее определения составлены подробные графики и таблицы (см. приложение 1), в которых она обозначается символом erfс\

о ⁰⁰ -У²

erfc(X)=~fe ^z dz.

wa (4.11)

Заметим, что erfc{<») = 0, a erfciO) ¹ 1.

Решение (4.12) имеет фундаментальный характер. На его основе могут быть получены решения и для более сложных краевых условий. Если, например, график изме­нения уровня в водохранишище носит криволинейный

характер (рис. 4.3), то, аппроксимируя кривую Д H\t) серией мгновенных (ступенчатых) изменений напора, легко приходим к формулам для значений Д Я, отвечаю­щих каждому временному интервалу; так, для второго интервала (t₁ <t < t₂) получаем