Материал: Hydrogeodynamics101

Возвращаясь к выражению (4.36), отметим, что оно формально совпадает со стационарной формулой (3.32) для скважины в круговом пласте, если ввести обозначения

R{t) = 'ПГа*! + г_с«уГлаЧ. (4.33)

Величина R(t) может быть названа расчетным ради­усом влияния скважины, при этом, однако, подчеркнем условность данного понятия — аналогично сказанному ранее о расчетной длине зоны влияния (см. раздел 4.111). Вместе с тем, интересно отметить, что формулы для опре­деления этих величин Оказались идентичными как при плоскопараллельном (см. формулу (4.18)), так и при пло­скорадиальном (см. формулу (4.38)) потоках. Это дает основание предположить, что и при иной геометрии линий тока можно (с какой-то долей приближения) пользовать­ся формулой (4.38), отсчитывая полученное по ней зна­чение R(t) от границы области стока.

3. О возможностях распространения решений

одномерных задач на двухмерные плановые поток

Полученные решения одномерных задач можно в ряде случаев эффективно обобщить применительно к двух­мерным потокам. Так, для расчетов систем скважин в этих целях используется прежде всего принцип сложения те­чений (см. раздел 3.3). При заданных расходах скважин их совместный эффект оценивают простым суммировани­ем понижений, определяемых для каждой скважины по формуле (4.28) или по производным от нее формулам для ограниченных пластов, получаемым методом отражения (см., например, задачу о скважине вблизи непроницаемо­го контура в разделе 4.1.2). Для скважин с заданными уровнями методика расчета усложняется по причинам, отраженным в разделе 3.3.

Двухмерность потока (если она заметно проявляется лишь на локальных его участках) учитывают с помощью метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений (см. раздел 3.4). Он оказывается справедливым в той же трактовке, что и для стационарных задач, если зона воз­мущения (длина нестационарного потока) перекрывает размеры участка локальных деформаций. Например, ре­шения для несовершенных выработок и скважин нетрудно получить из приведенных выше решений для совершен­ных границ — путем добавления в них соответствующих

фильтрационных сопротивлений на несовершенство, оп­ределяемых, как в стационарном случае (см. раздел 3.4).

В частности, аналогично формуле (3.71) для несовершенных выработок в стационарном потоке, обобщающей формулу (3.32), можно распространить приближенную формулу (4.36) на несовер­шенные скважины:

1ЛТ S_c

—г ^ъ (4.39)

'с

где £ имеет то же значение, что и в формуле (3.71).

В целом же, однако, трудности аналитического реше­ния нестационарных задач, с которыми мы столкнулись при изучении приведенных простейших примеров, при переходе к двухмерным потокам существенно возраста­ют. Наряду с обращением к моделированию (см. раздел 4.3) это заставляет отыскивать приближенные (инженер­ные) приемы, позволяющие свести двухмерные задачи к одномерным. В основе их чаще всего лежит разделение (фрагментация) потока вдоль линий тока.

При исследовании многих двухмерных задач было за­мечено, что через какое-то время после начального воз­мущения пласта положение линий тока мало меняется в пространстве. Исходя из этого можно приближенно счи­тать, что линии тока нестационарного и стационарного потоков (по крайней мере, при одних и тех же граничных условиях) мало отклоняются друг от друга. Тогда, по­строив линии тока для соответствующего стационарного случая (например, на модели из электропроводной бума­ги), можно далее рассчитывать нестационарный поток изолированно в пределах каждой ленты тока, ограничен­ной парой выделенных линий тока. Такой прием получил название метода недеформируемых линий тока (HJIT) [1].

Дальнейший расчет для каждой ленты тока (рис. 4.6) ведется в предположении, что характеристики нестационарного потока (напо­ры, скорости) зависят только от одной пространственной координаты

I, отсчитываемой вдоль оси ленты:

Н - H(l, t). При этом, конечно, учитывается и изменение ширины ленты ftXt). Тогда оказывается возможным использование как различных аналитических при­емов, так и моделирования, но уже не в двухмерной, а в упро­щенной одномерной постановке.

Пусть, например, мы имеем дело с задачей о расчете водопри- тока к горной выработке, на кото­рой происходит быстрое (мгно­венное) снижение напора (часть контура АВ этой выработки отве­чает на выделенной ленте границе Рис. 4.6. Схема расчета неста- I = 0). Постепенное распростране- ционарной фильтрации в пре­ние возмущения вдоль ленты во оелах ленты тока времени можно учесть, восполь­зовавшись найденным ранее выражением (4.38) для расчетного ра­диуса влияния, которое, как мы недавно выяснили, может считаться не зависящим от геометрии линий тока (рассчитанные на ряд момен­тов времени t. значения R(t.) показаны на рис. 4.6). Конечное значе­ние R(t) отвечает положению контура реки CD. Определяем далее фильтрационные сопротивления Ф(*.) участков ленты в интервалах [0, R( t.) ], для чего проще всего измерить электрические сопротивле­ния кусков электроповодящей бумаги соответствующей конфигура­ции. Расход потока Q(t.) в пределах ленты на момент tj определится, согласно формуле (3.53), соотношением:

где А Н (7_;) — разность напоров между границами участка ленты длиной R( t_t).

Если границей ленты (/ “ 0) является не горная выработка, а линейный контур скважин, то можно предварительно воспользовать­ся методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений (см. раздел 3.4), который становится справедливым, как только расчет­ный размер зоны влияния контура превысит расстояние О между скважинами, что следует непосредственно из обоснованного нами ранее (см. раздел 3.4) условия применимости метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений. Согласно формуле (4.38), это мож­но считать справедливым при

ще t — время от начала возмущения.

В целом, однако, изложенный здесь способ фрагментации двух­мерного планового потока является весьма приближенным и не уни­версальным , что вынуждает на практике обращаться к моделирова­нию (см. раздел 4.3) в двухмерной постановке.

2. Аналитическое исследование нестационарных фильтрационных процессов методами интегральных преобразований

Использованные в разделе 4.1 приемы для аналитиче­ского решения нестационарных задач носили весьма час­тный характер. Более общий подход к решению уравне­ний нестационарной фильтрации дают методы, основан­ные на их интегральных преобразованиях. В результате вместо исходного дифференциального уравнения получа­ют его интегральный аналог — новое уравнение, имею­щее, однако, меньшее число независимых переменных — за Счет удаления той переменной, по которой велось ин­тегрирование. Чаще всего в качестве такой переменной выступает время t, а в качестве интегральных преобразо­ваний — преобразования Лапласа и Лапласа-Карсона, широко используемые в операционном исчислении [16]. Поэтому данный метод решения мы будем именовать так­же операционным.

Пусть F(x_p t) — некоторая достаточно гладкая фун­кция пространственных координат jc- и времени. Введем преобразование Лапласа-Карсона [16]

Ц №,/)] =Т^{1 F(X}ifi ^e~^{t/,p dt} = > ,л ЛП\

p o (4.42)

где исходная функция F(x_itt) называется оригиналом, а получаемая после преобразования функция Т(х) — изображением исходной функции F по Лапласу-Карсо­ну; t_p — некоторая постоянная величина, имеющая раз­мерность времени и называемая параметром преобразо­вания. Таким образом, это преобразование ставит во вза­имно однозначное соответствие две функции: F(x_t, t) и Т( Xj), причем вторая от времени уже не зависит (можно говорить о том, что V (х) — есть некоторое специальное осреднение функции F(x_it f) во времени). Зная функцию Т(х), можно, используя обратное преобразование, найти исходную функцию F(x_if t). Для облегчения этой опера­ции меются специальные таблицы обращения [16].

Отметим некоторые свойства преобразования Ly (~Г[ Lj(Fj + F₂) ■ L₂(Fj) + Lj(F₂) = T_l +T₂~ изображение суммыравно сумме изображений;

[~2 j Lj(a) = а(а = const) — изображение от постоянной равной этой постоянной;

3 Lj{D [F(x_if i) ]} * D{L_X [F(_Xi, t) 1} * DT{x_t) (здесь D — обозначение любого линейного оператора, содержащего производ­ные от функции F только по пространственным координатам);

L_x [F’(x_it 0 ] = (J/tjTixJ - F(x_t, t) 1₁. о — формула для

изображения производной.

Первые три свойства очевидны, последнее — легко доказывается интегрированием в (4.42) по частям.

Перейдем к использованию преобразования Лапласа- Карсона для решения задач нестационарной фильтрации. Исходные уравнения типа (2.22), (2.33) и другие можно, введя функцию понижения напора S(х, у, 0, переписать в следующем обобщенном виде:

4? “ЛЮ- (4.43)

где линейный оператор D(S) не содержит временных про­изводных (линейность здесь предполагает независимость коэффициентов при производных от искомой функции

S).

Применим к уравнению (4.43) преобразование Лап­ласа-Карсона (4.42), введя функцию-изображение:

L_x [S(x,y,t)] =_Tf S(x,y,t) e~ ^fp dt = У (x, y).

(4.45)

p о

С учетом свойств преобразования L_x нестационарное уравнение (4.43) перейдет в стационарное:

A

Если исходная поверхность напоров стационарная, то, принимая S(x, у, 0, получим уравнение в изобра­

жениях

(4.46)

S-t_pD@)= О,

в котором сохранились производные лишь по пространст­венным координатам.

Граничные условия для уравнения (4.46) получаются из исходных граничных условий после применения к ним преобразования Лапласа-Карсона. В частности, при по­стоянных во времени граничных условиях они сохраняют свой вид и после перехода к изображениям.

Таким образом, вместо исходной нестационарной краевой задачи для функции-оригинала S решается более простая (стационарная) задача для функции-изображе­ния £ Для перехода от решения в изображениях к исход­ному решению для функции-оригинала используются таблицы обращений для преобразования Лапласа-Карсо­на [16].

В качестве примера найдем решение уже рассмотренной нами (см. раздел 4.1) задачи о скважине с постоянным дебитом в неогра­ниченном напорном пласте. Из исходного уравнения (4.19) получаем уравнение в изображениях:

(4.47)

Граничные условия имеют в изображениях вид

Решение полученного обыкновенного дифференциального урав­нения (уравнение Бесселя), с учетом граничных условий находим так же, как и в разделе 3.2.2.

«сЧ Ос К ['Ур75*7.Т]

(l/VT'gjq [г_с\Т7^1’ (4.49)

где К₀иК_} — функции Бесселя второго рода нулевого и первого по­рядков от мнимого аргумента.

При г/fa t <0,1 можно считать К₁ [ г V I /(а 1_р ] **,

р

«fi/глллг * и формула (4.49) принимает вид

^(^г)-1ЛТ^Ко (/ГГ') ’

(4.50)

р'

От полученного таким образом решения задачи в изображениях с помощью таблиц обращения находим исходное решение - оригинал

для функции S:

г

Ос ( ²⁴

л *

4а t

что совпадает с формулой Тейса (4.28).

Если решение в изображениях не имеет готового (таб­личного) оригинала, то moitt использоваться приближен­ные - численные методы обращения.

Так, в работе [221 предложена следующая приближенная фор­мула обращения:

S(r)=0,9(-S₁₊fy₂-fr₃), _(4J1)

где 3^ S₂ ^и У₃ — значения изображений при параметрах преобразс вания, равных соответственно:

2jiTS(r,t) _ _{0 9} (_{118 +} 5 333 (₂₎03 A) -

- 3,2 K₀ (2,63 A)] ,

где A = r/(2 yfa* t).

Сравнение этого решения с формулой Тейса дает вполне удовлетворительные результаты.

Численные методы обращения имеют большое значе­ние для эффективного использования интегральных пре­образований при моделировании: в этом случае на модели решается стационарное уравнение вида (4.46) (вместо нестационарного), а по найденным значениям функции изображения S(х, у, t_p) численно определяются искомые значения S( х, у, t).