Материал: Hydrogeodynamics101

Рис. 3.16. Схема искривления линий тока вблизи несовершенной скважины

f(b ) — функция, для которой дано графическое представле­

ние.

Из решения следует, что при г~>т фильтрация к скважине носит плановый характер. Это вполне увязывается с приведенным ранее критерием (2.50).

Разобьем поток к скважине на две зоны круговым сечением г=г * т. Расход потока во внешней зоне определим по формуле (3.32; (фильтрация плановая):

_1Я Т \Н(г) - Щг₀)\

Щг/m) ~ ’

а для внутренней зоны согласно формуле (3.70)

2Л'Т[Н(г_о) —Н_С]Ь

In (4m/r₀) — 2>ln4 — f(B)

Помня, что Q_l * Q- и исключая неизвестное значение напора Я(г₀), получим запись формулы (3.70) в виде

^Q‘ ln{r/7J+I

где

£ =

При Z» = 1 (совершенная скважина) £ - 0, и формула (3.71) переходит в формулу (3.32). Следовательно, величина £ отражает местное дополнительное сопротивление, обусловленное несовер­шенством скважины и связанным с этим отклонением от плановой модели фильтрации. Отсюда следует возможность замены несовер­шенной скважины фиктивной совершенной, имеющей расчетный радиус

г*

(3.72)

Из этого примера ясна принципиальная роль метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений: он по­зволяет учесть локальные погрешности плановой мо­дели фильтрации (см. раздел 2.5) и тем самым резко расширить диапазон ее практического применения. Та­кой подход оказывается особенно эффективным при моделировании задач в плановой постановке. (Приме­ры приложений этого метода приведены также в разде­лах 8.2 и 8.3).

3. Общие принципы моделирования задач плановой стационарной фильтрации

1. Сплошные модели из электропроводной бумаги

Наиболее просто и эффективно задачи плановой ста­ционарной фильтрации решаются на моделях из электро­проводной бумаги — согласно общему походу, отражен­ному в разделе 1.7. Особенность моделирования в плано­вой постановке заключается лишь в том, что удельное

1

сопротивление материала модели р = — связывается од-

с

\

нозначно не с проницаемостью среды, а с водопроводимо- стью

Т — Oj'C —а_т-р_у (3.73)

где Oj. — масштаб проводимости;

с — удельная электропроводность.

ЗАДАЧА. Покажите, что в этом варианте условию подобия (1.78) отвечает критерий

^aQ ~ ^ат ^ан • (3.74)

ПРИМЕР. Требуется определить приток в карьер, расположен­ный около реки (рис. 3.17). Модель пласта вырезают из двух кусков бумаги, удельные сопротивления которых отличаются в два раза (р^/р₂ * 0,5). Эти куски склеивают электропроводящим клеем по

линии АВ. По линии CD модель обрезают. Вдоль реки и контура карьера укладывают медные шины, на которые подают потенциалы, отвечающие напорамН и Я -0 (в данном примере можно подать на контур реки относительный потенциал (/- 1, а контур карьера U * 0). На модели строят линии равных потенциалов, а затем графиче­ски определяют линии тока.

Определенные трудности вызывает моделирование на бумаге несовершенных выработок, вблизи которых филь­трация носит двухмерный характер: наличие вертикаль­ной составляющей скорости не может быть непосредст­венно проимитировано на плановой модели рассмотрен­ного типа. На помощь здесь приходит метод эквивалент­ных фильтрационных сопротивлений [14, 34].

ПРИМЕР. Нужно решить задачу, во всем аналогичную пред­ыдущей (см. рис. 3.17,а), но русло реки является несовершенным (рис. 3.18,а). Так как мы уже знаем, что отклонения от плановой фильтрации имеют место лишь на расстоянии от реки порядка мощ­ности пласта, то изучим этот участок отдельно — на профильной бумажной модели (рис. 3.18,6). Границей модели справа является вертикаль d_g, которая, в соответствии со сказанным выше, является линией равных напоров. Определяя на этой модели ее электрическое сопротивление R , получаем соответствующее фильтрационное со-

^н г» Ф

противление Ф_у{ =ССф'К_н, где <2^ =— — масштаб сопротивлений

(кстати, покажите, что в данном случаеС^ = , где а_к—к'р —

масштаб проницаемости; см. раздел 1.7). По формуле (3.54) легко

определить сопротивление Ф_с, отвечающее совершенному руслу.

Тогда разница ДФ ■¹ Ф —Ф отражает дополнительное сопротив- н н с

Рис. 3.17. План (а) и разрез (б) планово-неоднородного пласта

ление, обусловленное несовершенством.

Теперь вернемся к плановой модели (см. рис. 3.17). Для учета в ней несовершенства русла можно ввести вдоль реки дополнительную полосу электропроводной бумаги того же сопротивления и шири-

ДД определяемая согласно общей зависимости (3-54) по формуле AL= Т, ДФ , отражает местное сопротивление ДФ,. Наряду с

i Н н

этим фильтрационное сопротивление Д Ф_н можно моделировать и с помощью иных видов электрических сопротивлений, подключаемых

к граничной шине, при­чем при ДФ_м *= const по­следняя задается диск­ретным проводником.

f

Таким образом, на плановой модели оказы­вается учтенным влия­ние вертикальной состав­ляющей скорости фильт­рации вблизи реки.

Аналогично мож­но использовать ме­тод фильтрационных сопротивлений при моделировании кон­турной системы сква-

1-Г «

, j // j ; у j /-т~гг~гЧ~1^гт-7 / г/тт'

-Ль

жин, заменяя ее эк­вивалентной тран­шеей (см. раздел 3.4), что позволяет моделировать дре­нажный контур не отдельными элект-

Рис. 3.18. Схемы к моделированию филь- родами, а сплошным трации (а) и элемент сетки сопротив- проводником (ши- лений(б); ной). Для определе-

/ - электропроводящие шины _НИЯ ДОПОЛНИТеЛЬНЫХ

сопротивлений или эквивалентных величин A L применяют формулы вида (3.69) или (3.68).

Идеи метода эквивалентных фильтрационных сопро­тивлений оказываются полезными и при задании на бу­мажных моделях отдельных водозаборных скважин. По­скольку при реальном геометрическом масштабе модели скважину пришлось бы имитировать электродом весьма малого диаметра, то это привело бы к неустранимым тех­ническим осложнениям. Поэтому выбирается электрод большего диаметра (0,5*1 см), отвечающего (в масштабе

модели) скважине некоторого фиктивного диаметра df.

1 ПА

Нетрудно показать (убедитесь в этом сами с помощью формулы (3,32)), что фильтрационное сопротивление вблизи скважины при этом уменьшается на величину [14]

1 df

дф in-/

^с 2тг Т d_c (3.75)

Следовательно, требование эквивалентности удается соблюсти, если присоединить к электроду дополнитель­но

ное сопротивление А/?_с = где а_ф — масштаб сопро­

тивлений, равный в данном случае: а_ф = —Для учета

несовершенства скважины вместо d_c вводят ее расчетный диаметр d^p (см. формулу (3.72)). На сопротивление AR_c подают потенциал, отвечающий заданному расходу. Впрочем, в последнем случае от дополнительного сопро­тивления можно отказаться, определяя при необходимо­сти неизвестный напор в скважине Н_с простейшим пере­счетом:

^ис =Н*-АН_С= Н*- е_сДФ₍, (3.76)

где Hf—фиктивный напор, отвечающий замеренному потенциалу на электроде.

При необходимости моделирования большого числа скважин весьма удобным, особенно при заданных расхо­дах скважин, оказывается, привлечение принципа сложе­ния течений: с помощью одного переносного электрода последовательно определяют понижения, вызванные в расчетных точках действием каждой скважины по отдель­ности, а затем суммированием определяют их общий эф­фект.

ВОПРОС. Какие ограничения накладываются на использование подобной методики при моделировании скважин с заданными уров­нями в них? Для ответа на вопрос вспомните замечание о граничных условиях на скважинах, сделанное в конце раздела 3.3.

Широкое применение находит принцип сложения течений при моделировании площадного инфильтрационного питания водонос­ного пласта [34 ]. Вообще говоря, для этого необходимо разбить об­ласть фильтрации на отдельные, сравнительно небольшие участки, к центрам которых условно приурочивается суммарное питание уча­стка. Последнее имитируется подачей в эти узлы тока соответствую­щей силы через подключенные к ним специальные дополнительные сопротивления. Регулировку силы тока приходится проводить подбо­ром, так как потенциалы (напоры) в узловых точках заранее неиз­вестны. Однако при решении широкого круга инженерных задач, в которых питание пласта допустимо считать неизменным (т.е. рав­ным естественному), от этой довольно громоздкой методики можно отказаться, прибегнув к принципу сложения течений (см. раздел

2. Дискретные модели - сетки электрических сопротивлений

Введенное нами в разделе 3.4 понятие фильтрацион­ного сопротивления позволяет наиболее просто уяснить возможность моделирования фильтрационных процессов на моделях с дискретным представлением пространства. Например, в случае планового потока, зависящего от ко­ординат х и у, область фильтрации разбивается для этого прямоугольной сеткой на отдельные участки со сторона­ми А х и А у (рис. 3.19,а). Реальный поток заменяется далее условным потоком, в котором движение жидкости осуществляется лишь по прямолинейным траекториям, соединяющим центры соседних блоков. Тогда фильтраци­онное сопротивления между узловыми точками согласно (3.54) имеют вид

Ах

причем при неравномерной разбивке значенияА х и А у в этих формулах могут меняться от узла к узлу. При равно­мерной квадратной сетке

^Ф*=Т/ (3.77а)

Электрическим аналогом фильтрационной сетки яв­ляется сетка переменных электрических сопротивлений, один из элементов которой показан на рис. 3.19,6. Значе­ния сопротивлений R_x и R_y назначаются пропорциональ­ными фильтрационным сопротивлениям Ф_х и Ф_у:

^ф* = ^аф'^Кх’ ^ФХ = ^аф'^ку. (3.78)

где а_ф —■ масштаб сопротивлений.

Рис. 3.19. Разбивка исходной области фильтрации (а) и элемент сетки сопротивлений (б)

Аналогично мо­жет набираться сетка для модели­рования профиль­ных потоков (при замене Т_х на к_х и Т_у на к _у).

Для модели­рования создают­ся специальные наборы сопротив­лений — сеточные интеграторы. Принципы моде­лирования в це­лом остаются по­добными сплош­ным бумажным моделям.

В специаль­ных пояснениях нуждается мето­дика моделирова­ния скважин. Так как соблюдение Рис. 3.20. Схемы к обосновании) методики всех особенностей представления скважин на сеточной моде- „„„„„„ п-мо™ ли в плане (а) и разрезе (б) потока ВОЛИЗИ

скважины потре­бовало бы здесь весьма дробной пространственной раз­бивки, то прибегают к приближенным приемам, основан­ным на предпосылке о плоскорадиальном характере при- скважинного потока [34]. Так, для скважины, располо­женной в центре квадратного блока (рис. 3.20), согласно формуле (3.32)

где Я. — напор в соседних блоках.

3. . Для этого задачу решают в понижениях, отсчитываемых от естественного уровня, что в случаях линейных уравнений автомати­чески обеспечивает учет инфильтрационного питания (см. раздел

   3. . Нужно, однако, помнить, что при этом граничные условия на модели также должны задаваться в понижениях. Для выработок и скважин с заданными уровнями это само по себе вызывает опреде­ленные усложнения в методике моделирования (о чем вы смогли у же, очевидно, догадаться, отвечая на последний вопрос).