Материал: Chast1giper

Доведемо останню формулу. Кінетична енергія ∆Е_кі елементу тіла ∆m_i дорівнює . Ми врахували зв’язок лінійної і кутової швидкостей . Кінетичну енергію обертання всього тіла знайдемо як суму кінетичних енергій усіх його елементів, врахувавши (4.40), тобто . (4.43)

Якщо тіло не тільки обертається, а ще і його центр маси рухається поступально з швидкістю V, наприклад, котиться колесо, то кінетична енергія дорівнює сумі поступальної і обертальної складових

. (4.44)

4.13 Розрахунок моментів інерції деяких тіл. Теорема Штейнера

Момент інерції тіла залежить не тільки від маси тіла, а і від її розподілу відносно осі обертання. Тому одне і теж тіло має різні моменти інерції відносно різних осей обертання. Розглянемо ряд прикладів розрахунку моменту інерції, користуючись його означенням (4.40).

a) момент інерції матеріальної точки . Задана маса m і радіус обертання R (рис.4.16). Знайти J.

Згідно з означенням (4.40) моменту інерції .

В нашому випадку r = R = const.

Тому . (4.45)

б) момент інерції обруча (труби) відносно осі, яка проходить через його центр і перпендикулярна площині обруча. Задана маса m і радіус обруча R (рис.4.17). Знайти J.

. r = R = const.

Тому . (4.46)

в) Момент інерції диска (циліндра) відносно осі, яка співпадає з віссю циліндра. Задана маса диска m і його радіус R (рис.4.18). Знайти J.

. Виберемо елемент dm у вигляді труби радіусом r з товщиною стінки dr і довжиною b, яка дорівнює товщині диска (висоті циліндра). Маса цієї труби . Густина . Тоиму маємо

.

Таким чином, момент інерції обруча (циліндра) . (4.47)

Видно, що порівнюючи з обручем (трубою) маса диска (циліндра) розподілена в цілому ближче до осі обертання. Тому і одержаний момент інерції менший.

г) момент інерції довгого тонкого стержня відносно осі, яка перпендикулярна до нього і проходить через середину стержня. Задані маса m стержня і його довжина (рис.4.19). Знайти J.

Виберемо елемент dm у вигляді частини стержня довжиною dr, який віддалений від осі на відстань r.

Його маса dm порційна довжині і дорівнює . Момент інерції стержня

. (4.48)

д) момент інерції кулі відносно діаметра. Задана маса m і радіус R. Момент інерції кулі . (4.49)

Для розрахунку моментів інерції тіл відносно осей, які не проходять через центр маси тіл (рис.4.20), застосовується теорема Штейнера: момент інерції J тіла відносно будь-якої осі дорівнює сумі моменту інерції J_o цього тіла відносно осі, яка проходить через центр маси О тіла та паралельна заданій, і добуткові маси m тіла на квадрат відстані d між цими осями

. (4.50)

Впевнимося у справедливості цієї теореми на прикладі розрахунку моменту інерції довгого стержня відносно осі, яка перпендикулярна до стержня і проходить через його край (рис.4.21). Безпосереднє інтегрування, як і у прикладі 4) дає

.

По теоремі Штейнера, враховуючи (4.48), одержуємо

(4.51)

такий же результат, як і безпосереднім інтегруванням.

4.14 Гіроскоп. Гіроскопічний ефект

Гіроскоп – це масивне тіло, приведене в обертальний рух. Гіроскопічний ефект заключається в тому, що при спробі повернути вісь гіроскопа силою в якійсь площині, наприклад, (zoy), вона (вісь) повертається в перпендикулярній площині (xoy) (рис.4.22).Пояснення цього ефекту основане на векторному характері основного рівняння динаміки обертального руху. Момент сили направлений по осі ох. Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху (4.42) зміна моменту імпульсу . Цей вектор, як і вектор , направлений також вздовж осі ох. Тоді нове значення вектора моменту імпульсу повернеться в площині хоу на нас на кут dφ. Таким чином вісь гіроскопа буде обертатись навколо осі oz з деякою кутовою швидкістю . Такий рух гіроскопічної осі називається прецесією. Знайдемо кутову швидкість прецесії Ω. Довжина хорди dL радіус L і центральний кут dφ (рис.4.22) зв’язані співвідношенням dL = L∙ dφ. Поділимо це рівняння на dt і врахуємо, що , а , одержуємо .

Таким чином видно, що вісь гіроскопа прагне зайняти таке положення, щоб кут між векторами моменту імпульсу і моменту зовнішньої сили став мінімальним.

5. Механіка рідин і газів

5.1 Сили в’язкості. Рух тіл в рідинах і в газах. Формула Стокса

Сила в’язкості, або сила внутрішнього тертя, виникає в рідинах і в газах при відносному русі шарів і направлена паралельно напрямку руху цих шарів (рис.5.1). В рідинах поява цієї сили зумовлена наявністю міжмолекулярних сил взаємодії. Природу виникнення сил в’язкості в газах встановимо пізніше.

Сила в’язкості гальмує шар, що рухається з більшою швидкістю, і прискорює повільніший шар. Величина цієї сили тим більша, чим більша відносна швидкість шарів і чим менша відстань між ними. Вона знаходиться за формулою Ньютона

. (5.1)

Тут: η [Па∙с] – коефіцієнт в’язкості, для різних речовин різний, але при заданій температурі величина стала; ∆S – площа шарів; - градієнт швидкості направленого руху шарів, тобто „швидкість” її зміни з координатою oz, яка перпендикулярна до площини шарів.

При рухові тіла в рідині або в газі приповерхневий молекулярний шар рідини чи газу рухається разом з тілом і утягує в направлений рух більш віддалені від поверхні шари. Так виникає градієнт швидкості і сила внутрішнього тертя, яка гальмує рух тіла. Ясно що вона залежить від форми тіла. Для кулі цю силу вперше розрахував англійський фізик Д.П.Стокс (1818-1903)

, (5.2)

де: R – радіус кулі, V_o – швидкість кулі.

Розглянемо визначення в’язкості рідини методом Стокса, оснований на формулі (5.2).

В посудину з досліджуваною рідиною кидається кулька радіусом R. Під дією сили тяжіння і виштовхуючої сили Архімеда вона рухається з прискоренням. Ясно, що густина тіла ρ_т повинна бути більшою, ніж густина рідини ρ_р. По мірі зростання швидкості зростає сила в’язкості , внаслідок чого величина прискорення зменшується, і в кінці кінців рух кульки стає рівномірним, коли рівнодіюча цих трьох сил стане дорівнювати нулю, тобто , або в скалярній формі

. (5.3).

Підставимо в (5.3) силу Стокса (5.2), масу і силу Архімеда: