Материал: Chast1giper

Абсолютно пружний удар. Маємо систему рівнянь:

. (4.26)

Знаходимо із цієї системи швидкості тіл U₁ і U₂ після удару. Перепишемо систему так:

.

Розкладемо у другому рівнянні різницю квадратів

Враховуючи (4.27) після скорочення (4,28) одержимо систему лінійних рівнянь

Помноживши (4.30) на m₂ і віднімаючи із (4.29), знаходимо . Помноживши (4.30) на m₁ і додаючи до (4.29), знаходимо

Розглянемо два випадки співвідношення мас:

а) m₁ = m₂ =m, тобто маси тіл однакові. У цьому випадку маємо

, тобто тіла „обмінюються” швидкостями;

б) m₂ >> m₁ – легке тіла m₁ ударяє по масивному m₂. Одержимо

. Швидкість масивного тіла m₂ не змінюється, а швидкість легкого тіла змінюється на подвоєну початкову швидкість масивного тіла. Якщо легке тіло m₁ наздоганяє масивне m₂, швидкість легкого тіла зменшується на подвоєну швидкість V₂ масивного. Якщо легке тіло m₁ рухається назустріч масивному m₂, то його швидкість збільшується на подвоєну швидкість V₂ масивного тіла.

Критерієм пружного чи пластичного удару є коефіцієнт відновлення k. Це відношення відносних швидкостей тіл до і після удару

. (4.33)

Для абсолютно пластичного удару k = 0, для абсолютно пружного k = 1.

4.9 Перша та друга космічні швидкості

Перша космічна швидкість - це швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно стало штучним супутником Землі. При його польоті по орбіті радіусом r сила гравітаційного притягування надає йому доцентрового прискорення.

, (4.34)

де - прискорення вільного падіння на висоті .

Космічні польоти здійснюються на висоті близько сотні кілометрів, а радіус Землі 6300 км. Тому можна вважати, що радіус орбіти штучного супутника дорівнює радіусу Землі. Тоді r = R_з, g = g_o = 9,8 м/с²;

.

Друга космічна швидкість – це така швидкість тіла, коли воно за рахунок своєї кінетичної енергії може вийти за межі гравітаційного поля Землі. Знайдемо її із закону збереження енергії: кінетична енергія тіла дорівнює роботі сил гравітаційного поля при переміщенні від поверхні Землі до нескінченності, тобто маємо

.

4.10 Обертальний рух твердих тіл. Абсолютно тверде тіло. Момент сили. Пара сил

При вивченні обертального руху тіл зручно ввести таку ідеалізацію, як абсолютно тверде тіло. Це такі тіла, в яких не виникають деформації, які б сили на нього не діяли. Зручність полягає в тому, що радіус обертання для таких тіл не змінюється, а отже і зв’язок між кутовими і лінійними характеристиками буде однозначним (як відомо з § 2.7, він здійснюється через радіус). Тому для вивчення обертального руху тіла досить знайти кутові характеристики однієї його точки.

Результат дії мимобіжної з віссю обертання сили F на тіло, яке має нерухому вісь обертання, залежить не тільки від величини сили, а і від точки її прикладання та напрямку дії. Дійсно, сила паралельна осі обертання намагається здвинути його вздовж осі, а не повернути. Сила, яка перетинає вісь, намагається її зігнути і не приводить тіло в обертальний рух. Ці сили зрівноважуються силами реакції опори осі. Сила ж, яка не проходить через вісь обертання і не паралельна їй приводить тіло в обертальний рух. В цьому випадку мірою дії сили на рух тіла є не сама сила, а її момент.

Моментом сили називається векторний добуток радіус-вектора точки прикладення сили (рис.4.12) і сили , проекції сили на площину, перпендикулярну до осі обертання

(4.35).

Цей вектор направлений вздовж осі обертання у відповідності з правилом правого гвинта: при обертанні правого гвинта разом з тілом вектор співпадає з поступальним рухом гвинта, в нашому випадку вгору.

Розкриваючи векторний добуток, і враховуючи, що

, одержуємо

. (4.36)

Тут р – плече сили – це довжина перпендикуляра, опущеного з осі обертання на напрямок дії сили .

Парою сил називають дві паралельні протилежно направлені однакові за величиною сили.

Моментом пари сил називають добуток однієї з сил на плече пари, тобто на відстань р між лініями дії сил (рис.4.13). Момент пари сил не залежить від наявності і положення осі обертання. Дійсно, враховуючи , що моменти сил F₁ і F₂ протилежно направлені (рис.414) і , результуючий момент буде дорівнювати

. (4.37)

4.11 Основне рівняння динаміки обертального руху

Нехай деяке тіло може обертатись навколо закріпленої осі. Виділимо елемент ∆m_i цього тіла, положення якого задається радіус-вектором . На цей елемент діють зовнішні сили і внутрішні сили , тангенціальні складові яких і надають йому дотичного прискорення . Записуємо другий закон Ньютона для цього елементу

(4.38)

Щоб перейти до моментів сил рівняння (4.38) векторно домножаємо на радіус-вектор

. Так як , маємо

. (4.39)

Звернемо увагу, що кутове прискорення не має індексу і так як воно

для всіх точок тіла однакове.

Скориставшись формулою подвійного векторного добутку

, спростимо праву частину (4.39)

, так як радіус-вектор і кутове прискорення взаємно перпендикулярні. Візьмемо суму по всьому об’єму тіла

. Тут перший доданок є векторна сума моментів зовнішніх сил, які діють на тіло , другий доданок – це векторна сума внутрішніх сил. Вона дорівнює нулю, так як в противному випадку елемент ∆m_i рухався б відносно інших елементів. А це означало б можливість деформації тіла, що ми виключили, ввівши поняття абсолютно твердого тіла. Отже .

Вираз , або (4.40)

залежить від розподілу маси тіла відносно осі обертання і називається моментом інерції тіла. Це міра інертності тіла в обертальному русі, аналог маси в поступальному русі. Вимірюється момент інерції в кг∙м². Таким чином, основне рівняння динаміки обертального руху набуває виду

. (4.41)

Враховуючи, що , рівняння (4.41) прийме вид

. (4.42)

Величина , яка дорівнює добутку моменту інерції на кутову швидкість, називається моментом імпульсу (аналог імпульсу в поступальному русі).

Якщо система замкнута, тобто сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю, то момент імпульсу системи не змінюється (зберігається). Це є закон збереження моменту імпульсу, який аналогічний закону збереження імпульсу в поступальному русі.

4.12 Аналогія величин і рівнянь поступального і обертального руху. Кінетична енергія обертання тіла