Материал: Chast1giper

Відношення , або (6.15)

уже не залежить і від ширини інтервалу, а являється тільки функцією швидкості. Це і є функція розподілу молекул, в даному випадку по швидкостям. Вона показує ймовірність того, що значення швидкості потрапляє в інтервал від V до V+1, тобто в одиничний інтервал швидкостей. Тому її називають густиною ймовірності.

Функція (6.16)

Називається повною статистичною функцією розподілу. Вона дає можливість знайти кількість молекул, які мають значення швидкості в певному інтервалі від V₁ до V₂ шляхом інтегрування

. (6.17)

Ясно, що інтеграл (6.17) у всьому можливому діапазоні швидкостей дає загальну кількість молекул N, тобто

. (6.18)

Це умова нормування функції розподілу. Останній вираз означає, що ймовірність виявити будь-яке значення швидкості, тобто в інтервалі від 0 до ∞, дорівнює 1.Це достовірна подія.

Максвеллівська функція розподілу молекул по швидкостям має вид (її вивід див.у кн. Р.В.Телеснин. Молекулярная физика)

. (6.19)

Тут: А – коефіцієнт, який знайдемо із умови (6.18) нормування функції розподілу, m – маса однієї молекули, k – стала Больцмана, Т – абсолютна температура.

Знайдемо нормуючий коефіцієнт А.

. Виконаємо заміну аргументу інтегрування. Позначимо Тоді . Одержимо

. Табличний інтеграл . Таким чином маємо

(6.20)

а нормована функція

. (6.21)

6.7 Швидкості молекул. Правило статистичного усереднення

Хаотичний тепловий рух молекул характеризується трьома швидкостями: найбільш ймовірною, середньою арифметичною і середньою квадратичною.

Найбільш ймовірну швидкістьV_н.й мають більшість молекул. Це значення аргументу, яке відповідає максимуму функції (6.19). Знайдемо її, дослідивши функцію Максвелла (6.19) на екстремум.

. .

. Після спрощень маємо . (6.22)

Тут враховано що .

Знайдемо середню арифметичну швидкість V_{ср. ар.} з таких міркувань: швидкість V₁ мають ∆N(V₁) молекул;

швидкість V₂ мають ∆N(V₂) молекул;

------------------------------------------------

швидкість V_k мають ∆N(V_k) молекул.

Середня арифметична швидкість

,

або з врахуванням (6.16) одержуємо

. (6.23)

Одержане співвідношення називається правилом статистичного усереднення. Так знаходяться середні значення фізичних величин при відомій функції розподілу по цій фізичній величині. Наприклад, середня енергія може бути знайдена за виразом

.

Розрахуємо середню арифметичну швидкість, скориставшись (6.23) і (6.21).

. Виконаємо заміну аргументу інтегрування таку ж, як і в розділі 6.6.

. Інтегрування по частинам дає

. Одержуємо

. (6.24)

Знайдемо середню квадратичну швидкість V_ср.кв – це квадратний корінь із середнього значення квадратів швидкостей

.

Аналогічно попередньому, інтегрування по частинам, дає

Графік цієї функції показаний на рис.6.7. Це функція з екстремумом, який відповідає значенню швидкості, яку мають більшість молекул. Ця швидкість V_н.й називається найбільш ймовірною швидкістю.

. (6.25)

Можна середню квадратичну швидкість знайти простіше, знаючи середню енергію поступального руху молекул (6.13) і означення (6.11) середньої квадратичної швидкості.

.

Видно (6.22), (6.24) і (6.25), що всі характерні швидкості відрізняються числовими коефіцієнтами і із збільшенням температури зростають пропорційно .

6.8 Експериментальна перевірка Максвеллівського розподілу молекул по швидкостям (дослід Штерна)

Перша експериментальна перевірка Максвеллівського розподілу молекул по швидкостям була здійснена німецьким фізиком О.Штерном (1888-1969) у 1920 р. Схема досліду показана на рис 6.8. Вздовж осі двох коаксіальних циліндрів була натягнута платинова нитка, покрита сріблом. Внутрішній циліндр мав вузьку щілину. Вся система була поміщена у вакуум. При нагріванні нитка срібло випаровувалось. Щілиною формувався пучок атомів срібла, які осідали на внутрішній поверхні більшого циліндра напроти щілини. Коли циліндри приводились в обертання (~2700 об/хв), срібна пляма зміщувалась і розмивалась так як за час прольоту атомів між циліндрами вони встигали повернутися на певний кут. Зміщення . Тоді швидкість атомів . По зміщенню максимуму плями знаходили найбільш ймовірна швидкість (~600 м/с), яка добре узгоджувалась з розрахованим по (6.22) значенням. Вимірювання товщини плівки срібла з різним зміщеннями дали можливість впевнитись у справедливості формули (6.19), так як молекули з різними швидкостями зазнавали різного зміщення: повільні молекули – більшого, швидкі – меншого.

6.9 Барометрична формула. Больцманівський розподіл молекул в силовому полі

Барометричною формулою називається залежність тиску Р атмосфери Землі в залежності від висоти h над її поверхнею. Знайдемо її. Для цього виділимо нескінченно малий циліндр повітря висотою dh і площею основи dS (рис.6.9). Позначимо тиск на нижню основу Р(h),

на верхню P(h+dh). Маса повітря в цьому циліндрі dm = ρ·g∙dh∙dS. Густину знайдемо із (6.5) рівняння Клапейрона-Менделєєва . Запишемо умову рівноваги циліндра. Горизонтальні сили тиску, які діють на бічну поверхню взаємно компенсуються. Залишаються вертикальні сили

. Інтегруємо це рівняння з граничними умовами:

при h = 0 P = P_o.

Одержали барометричну формулу

, (6.26)

де m – маса однієї молекули, Е_п – потенціальна енергія молекули в гравітаційному полі Землі. Формула (6.26) показує, що по мірі збільшення висоти тиск зменшується по експоненті.

Враховуючи основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії (6.14) , формула (6.25) перейде в формулу Больцманівського розподілу молекул по потенціальним енергіям . (6.27)

Вираз (6.27) показує, що на більш високому енергетичному рівні знаходиться менше частинок (рис.6.10). При Е_п2 > Е_п1 n₂ < n₁. Такий розподіл частинок називається нормальним. Якщо ж на більш високому енергетичному рівні знаходиться більше частинок, тобто при Е_п2 > Е_п1 n₂ > n₁, такий розподіл називається інверсною заселеністю енергетичних рівнів. Це термодинамічно нерівноважний стан системи. Саме таке заповнення рівнів необхідне для роботи лазерів.

Із виразу (6.27) випливає, що з пониженням температури концентрація молекул на висотах, відмінних від нуля зменшується, і при Т = 0К стає рівною нулю. Це означає, що при Т = 0К всі молекули знаходяться на поверхні Землі, тобто при h = 0. Отже силове поле намагається розмістити частинки в положення з мінімальною потенціальною енергією. Тепловий же рух навпаки намагається розподілити молекули рівномірно. Внаслідок цих протилежних факторів і встановлюється експоненціальний розподіл молекул з висотою.