Р А З Д Е Л IV
как он ее представляет, не является совершенно строгой, хотя, конечно, она и может быть таковой; но не показыва ет, что наличие фигуры существенно для подлинно строго геометрического доказательства. Предположить, что это так, значило бы принять за необходимую характеристику всех геометрий то, что на самом деле является лишь слу чайным дефектом отдельной геометрической системы.
Поэтому мы приходим к выводу, что пропозиции чис той геометрии являются аналитическими. И это приводит нас к отрицанию гипотезы Канта о том, что геометрия име ет дело с формами созерцания нашего внешнего чувства. Ибо основанием для этой гипотезы служило то, что она одна объясняет, как пропозиции геометрии могли бы быть истинными как априорно, так и синтетически; а мы видели, что синтетическими они не являются. Сходным образом наша точка зрения, что пропозиции арифметики являются не синтетическими, а аналитическими, приводит нас к от рицанию гипотезы Канта1, что арифметика связана с на шим чистым созерцанием времени, с формой нашего внут реннего чувства. Таким образом, мы в состоянии отбросить трансцендентальную эстетику Канта, не сталкиваясь с эпи стемологическими затруднениями, о которых обычно в этом случае говорят. Ибо единственный аргумент, который можно выдвинуть в пользу теории Канта, заключается в том, что она одна объясняет определенные 'факты'. А те перь мы обнаружили, что 'факты', которые она намерева ется объяснить, вообще не являются фактами. Ибо хотя и верно, что мы обладаем априорным знанием необходи мых пропозиций, но неверно, как предполагал Кант, что какая-то из этих необходимых пропозиций является синте-
Эта гипотеза не упоминается в Критике чистого разума, однако утверждалась Кантом ранее.
120
A PRIORI
тической. Все они без исключения являются аналитиче скими; или, другими словами, тавтологиями.
Мы уже объяснили, каким образом получается, что эти аналитические пропозиции являются необходимыми и дос товерными. Мы видели, что причина, по которой они не могут быть опровергнуты опытом, состоит в том, что они ничего не утверждают об эмпирическом мире. Они просто фиксируют нашу тенденцию употреблять слова опреде ленным образом. Мы не можем их отрицать, не нарушая те соглашения, которые предполагаются самим нашим отри цанием, и тем самым впадая в противоречие. И это - един ственное основание их необходимости. Как полагает Вит генштейн, наше оправдание считать, что мир не мог бы осмысленно не подчиняться законам логики, заключается лишь в том, что мы не могли бы сказать о нелогичном ми ре, как он выглядит1. А поскольку обоснованность анали тической пропозиции не зависит от природы внешнего ми ра, то она не зависит и от природы нашего сознания. Впол не возможно, чтобы мы использовали лингвистические соглашения, отличные от тех, которые мы используем на самом деле. Но чем бы ни были эти соглашения, тавтоло гии, в которых мы их фиксируем, всегда были бы необ ходимыми. Ибо всякое их отрицание было бы лишено смысла.
Итак, мы видим, что нет ничего таинственного в апо диктической достоверности логики и математики. Наше знание, что никакое наблюдение не может опровергнуть пропозицию '7+5=12', зависит просто от того факта, что символическое выражение с7+5' синонимично выражению 42' подобно тому, как наше знание, что всякий окулист - это глазной врач, зависит от того факта, что символ 'глаз-
1 Tractatus Logico-Philosophicus. 3.031.
121
Р А З Д Е Л IV
ной врач' синонимично символу 'окулист'. Такое же объ яснение имеет силу для любой другой априорной истины.
Таинственным, на первый взгляд, кажется то, что эти тавтологии от случая к случаю могут приводить к сюрпри зам, что в математике и логике есть возможность изобрете ния и открытия. Как говорит Пуанкаре: 'Если все утвер ждения, которые выдвигаются в математике, могут быть получены друг из друга посредством формальной логики, то математика не может составлять нечто большее, чем безконечную тавтологию. Логический вывод не может научить нас ничему существенно новому, и если все долж но вытекать из принципа тождества, то все должно быть к нему и сводимо. Но можем ли мы действительно допус тить, что те теоремы, которые заполняют столь много книг, не служат никакой другой цели, кроме как окольным путем сказать, что "А=А"?'1 Пуанкаре находит это неправдоподбным. Его собственная теория состоит в том, что смысл изобретения и открытия в математике принадлежит ей в силу математической индукции, в силу принципа, со гласно которому то, что истинно для числа 1, то истинно для /7+1, при условии, что это истинно для /72, истинно для всех чисел. И он утверждает, что это - синтетический ап риорный принцип. На самом деле, он априорный, но не синтетический. Он является определяющим принципом натуральных чисел, служащим для того, чтобы отличить их от таких чисел, как бесконечные кардинальные числа, к которым он не может быть применен3. Кроме того, мы должны помнить, что открытия могут совершаться не
1 La Science et l* Hypothèse. Part I. Chapter i.
2В предыдущих изданиях ошибочно утверждалось, что то, что 'ис тинно для п, когда истинно для п+\\
3Ср.: В. Russell, introduction to Mathematical Philosophy, Chapter iii.
P. 27.
122
A PRIORI
только в арифметике, но также в геометрии и формальной логике, в которых математическая индукция не использу ется. Так что даже если бы Пуанкаре был прав в отноше нии математической индукции, то он не обеспечил бы удовлетворительного объяснения тому парадоксу, что лишь группа тавтологий может быть столь интересной и приводящей к сюрпризам.
Верное объяснение весьма просто. Способность логики и математики приносить нам сюрпризы, как и их полез ность, зависит от ограниченности нашего разума. Сущест во, чей интеллект бесконечно могуч, не проявляло бы ин терес к логике и математике1. Ибо оно было бы способно увидеть с первого взгляда все, что влекут его определения, и, соответственно, оно никогда не узнало бы из логическо го вывода что-то такое, что полностью уже не осознавало. Но наш интеллект не таков. Мы способны обнаружить с первого взгляда лишь незначительную часть следствий наших определений. Даже простая тавтология вроде '91x79=7189' находится вне сферы нашего непосредствен ного постижения. Дабы убедить себя в том, что '7189' си нонимично '91χ79', мы должны прибегнуть к вычислению, которое является просто процессом тавтологичного преоб разования; т.е. процессом, посредством которого мы изме няем форму выражений без изменения их значения. Табли ца умножения - это правило выполнения данного процесса в арифметике; подобно тому, как законы логики суть пра вила для тавтологичного преобразования предложений, выраженных в логическом символизме или в обыденном языке. Поскольку процесс вычисления выполняется более или менее механически, то нам легко сделать ошибку
1 Ср.: Hans Hahn, 'Logic, Mathematic und Naturerkennen', Einheitswis senschaft, Heft II. P. 18. 'Ein allwissendes Wesen braucht keine Logik und keine Mathematik'.
123
Р А З Д Е Л IV
и поэтому невольно противоречить самим себе. И это объ ясняет существование логически и математически 'ложных утверждений', которые, в противном случае, могут казать ся парадоксальными. Ясно, что риск ошибки в логическом доказательстве пропорционален протяженности и сложно сти процесса вычисления. И точно так же чем более слож на аналитическая пропозиция, тем более интересна она для нас и к тем большим сюрпризам приводит.
Легко видеть, что опасность ошибки в логическом до казательстве можно минимизировать введением символи ческих приспособлений, которые позволяют нам выражать в высшей степени сложные тавтологии в удобной и про стой форме. И это дает нам возможность применять изобре тения при выполнении логических исследований. Ибо пра вильно выбранное определение привлечет наше внимание к аналитическим истинам, которые, в противном случае, от нас ускользнули бы, а построение полезных и продуктивных оп ределений может рассматриваться как творческий акт.
Таким образом, показав, что точка зрения, что все исти ны логики и математики являются аналитическими, не со держит необъяснимого парадокса, мы можем благополучно принять ее за единственное удовлетворительное объясне ние их априорной необходимости. И, принимая ее, мы под тверждаем эмпиристское утверждение, что не может суще ствовать априорное знание о реальности. Ибо мы показы ваем, что истины чистого разума, пропозиции которого, как мы знаем, обоснованны независимо от всякого опыта, являются таковыми только благодаря тому, что они лише ны фактуального содержания. Сказать, что пропозиция ис тинна априорно - значит, сказать, что она является тавто логией. А тавтологии, хотя они и могут служить нам про водниками в нашем эмпирическом поиске знания, сами не содержат никакую информацию о реальности.
124