A PRIORI
чае он бы пропустил. Формулировка аналитических пропо зиций не только позволяет ему сделать его информацион ный перечень полным, но и придает ему уверенность в том, что синтетические пропозиции, перечень которых состав лен, образуют самонепротиворечивую систему. Показывая, какие способы комбинации пропозиций приводят к проти воречию, они предохраняют его от включения несовмести мых пропозиций и, таким образом, от составления перечня, лишенного смысла. Но постольку, поскольку мы действи тельно использовали такие слова, как 'все', 'или' и 'не.', не впадая в противоречие, о нас можно было бы сказать, что мы уже знаем, что то, что раскрывается в формулировке аналитических пропозиций, является иллюстрацией пра вил, управляющих нашим употреблением этих логических частиц. Поэтому здесь мы снова оправданы, говоря, что аналитические пропозиции не дают приращения нашему знанию.
Аналитический характер истин формальной логики был затемнен в логике традиционной ее недостаточной формализованностью. Ибо всегда говоря о суждениях вместо пропозиций и привлекая не относящиеся к делу психоло гические вопросы, традиционная логика создает впечатле ние, что она некоторым, особо тесным способом связана с работой мышления. На самом деле она связана с фор мальным соотношением классов, что демонстрируется тем фактом, что все ее правила вывода подпадают под исчис ление классов Буля, которое, в свою очередь, подпадает под пропозициональное исчисление Рассела и Уайтхеда1. Их система, изложенная в Principia Mathematica, делает
1 См.: Karl Menger. 'Die Neue Logik', Krise und Neuaufbau in den Exahen Wissenschaften. P. 94-96; а также Lewis и Langford, Symbolic Logic. Chapter v.
115
Р А З Д Е Л IV
ясным то, что формальная логика связана не со свойствами человеческого разума (и еще менее со свойствами матери альных объектов), но просто с возможностью соединения пропозиций с помощью логических частиц в аналитиче ские пропозиции и изучения формального соотношения этих аналитических пропозиций, посредством которого одна из них выводится из другой. Их процедура должна представить пропозиции формальной логики в виде дедук тивной системы, основанной на пяти исходных пропозици ях, впоследствии своодимых к одной. Тем самым различие между логическими истинами и правилами вывода, кото рое утверждалось аристотелевской логикой, совершенно исчезает. Каждое правило вывода предстает как логическая истина, а каждая логическая истина может служить в каче стве правила вывода. Три аристотелевских 'закона мышле ния' - закон тождества, закон исключенного третьего и закон непротиворечия - включены в систему, но они не рассматриваются как более важные, нежели другие анали тические пропозиции. Они не причисляются к предпосыл кам этой системы. И, вероятно, сама система Рассела и Уайтхеда - это лишь одна среди многих возможных ло гик, каждая из которых составлена из тавтологий, столь же интересных для логика, сколь и произвольно отобранные аристотелевские 'законы мышления' .
Пункт, который недостаточно раскрыт Расселом, если он вообще им осознавался, заключается в том, что каждая логическая пропозиция обоснована сама по себе. Ее обос нованность не зависит от ее включенности в систему и вы водимости из определенных пропозиций, принимаемых за самоочевидные. Построение системы логики полезно как
1 Для уточнения этого пункта см.: Lewis и Langford, Symbolic Logic. Chapter vii.
116
A PRIORI
средство обнаружения и подтверждения аналитических пропозиций, но оно,, в принципе несущественно даже для этой цели. Ибо можно представить систему обозначений, в которой каждую аналитическую пропозицию можно было бы распознать как аналитическую посредством одной ее формы.
Тот факт, что обоснованность аналитической пропози ции никоим образом не зависит от ее выводимости из дру гих аналитических пропозиций, служит нам оправданием для пренебрежения вопросом о том, сводимы ли пропози ции математики к пропозициям формальной логики так, как это предполагал Рассел1. Ибо даже если определение кардинального числа как класса классов, равночисленных заданному классу, действительно содержит круг, а матема тические понятия невозможно свести чисто к логическим понятиям, верным все равно остается то, что пропозиции математики суть аналитические пропозиции. Они будут образовывать особый класс аналитических пропозиций, содержащих особые термины, но от этого они не будут в меньшей степени аналитическими. Ибо критерий анали тической пропозиции в том, что ее обоснованность следует просто из определения содержащихся в ней терминов, а это условие выполняется пропозициями чистой математики.
Математические пропозиции, относительно которых предположение об их синтетичности наиболее проститель но, - это пропозиции геометрии. Ибо для нас естественно полагать, как считал Кант, что геометрия - это изучение свойств физического пространства, и что, следовательно, ее пропозиции имеют фактуальное содержание. И если мы в этом убеждены, а также осознаем, что истины геомет рии необходимы и достоверны, то мы можем склониться
1 См.: Introduction to Mathematical Philosophy. Chapter ii.
117
Р А З Д Е Л IV
к принятию гипотезы Канта как единственно возможного объяснения нашего априорного знания этих синтетических пропозиций, что пространство - это форма созерцания на шего внешнего чувства; форма, накладываемая нами на содержание ощущения. Но хотя точка зрения, что чистая геометрия связана с физическим пространством, была правдоподобна во времена Канта, когда геометрия Евклида была единственно известной геометрией, последующее изобретение неевклидовых геометрий показало ее ошибоч ность. Теперь мы видим, что аксиомы геометрии - это про сто определения, и что теоремы геометрии - это просто логические следствия этих определений1. Сама по себе геометрия - не о физическом пространстве; по сути, о ней самой нельзя сказать, что она Ό ' чем-то. Но мы можем ис пользовать геометрию, чтобы рассуждать о физическом пространстве. Другими словами, придав аксиомам физиче скую интерпретацию, мы можем продолжить применять теоремы к тем объектам, которые этим аксиомам удовле творяют. Можно применять геометрию к действительному физическому миру или нет, - это эмпирический вопрос, который выпадает из сферы самой геометрии. Следова тельно, нет смысла спрашивать, какие из известных нам геометрий ложны, а какие истинны. Постольку, поскольку все они свободны от противоречия, все они истинны. Можно спросить только: какая из них наиболее полезна в какой-то заданной ситуации? какую из них наиболее легко и наиболее продуктивно можно применить к реальной эм пирической ситуации. Но пропозиция, устанавливающая, что определенное применение геометрии возможно, сама не является пропозицией этой геометрии. Сама геометрия говорит нам только то, что если нечто может быть подве-
1 Ср.: //. Poincaré. La Science et V Hypothèse. Part II. Chapter iii.
118
A PRIORI
дено под определения, оно будет также удовлетворять тео ремам. Следовательно, она представляет собой чисто логи ческую систему, а ее пропозиции являются чисто аналити ческими.
Можно возразить, что использование схем в трактатах по геометрии показывает, что геометрическое доказатель ство не является чисто абстрактным и логическим, но зави сит от нашего созерцания свойств фигур. Однако на самом деле использование схем несущественно для совершенно строгой геометрии. Схемы вводятся в качестве содействия нашему разуму. Они обеспечивают нас частным примене нием геометрии и поэтому помогают нам воспринять более общую истину, что аксиомы геометрии включают опреде ленные следствия. Но тот факт, что для осознания этих следствий большинство из нас нуждаются в помощи при мера, не показывает, что отношение между ними и аксио мами не является чисто логическим отношением. Он де монстрирует просто то, что наши умственные способности неадекватны задаче выполнения самых абстрактных про цессов рассуждения без помощи созерцания. Другими сло вами, он не касается природы геометрических пропозиций, но представляет собой лишь эмпирический факт относи тельно нас самих. Более того, обращение к созерцанию, даже имеющему психологическую ценность, является так же источником опасности для геометра. Он склонен делать предположения, которые относительно отдельной фигуры, принимаемой им в качестве иллюстрации, являются слу чайно истинными, а не следуют из его аксиом. Действи тельно, показано, что в этом повинен и сам Евклид, а, сле довательно, наличие фигуры существенно для некоторых из его доказательств1. Это демонстрирует, что его система,
1 Ср.: М. Black. The Nature of Mathematics. P. 154.
119