Материал: 683
Значення cr(X) =,jD(X), де D(X) = М( Х 2 )-( М(Х))2 ;
D(X) = 0,877-0 = 0,877; cr(X) =Jo,877 = О,94.
4. Ймовірність того, що х приймає значення з інтервалу (О; тс/3) знаходи
мо за формулою (20)
|
P=rO<x<~)=ттJ-3cos2 xd~=oJ9ss. |
|
|||
|
··. |
3) |
|
о |
|
5. Будуємо графік Нх) і f(x) |
|
|
|
||
|
|
F{XJ |
|
|
|
1.0 |
__________._ |
|
|
||
о.в |
1 |
|
|
|
|
0,6 |
І |
|
|
|
|
0,4 |
: |
|
|
|
|
0,2 '-------+---+---~-+-----'--------' |
|
||||
о |
~'~~-L-~-"":r::_ |
|
i ___t_i ____l_______ ~ |
||
|
|
|
о |
1'14 |
х |
|
|
f(x) |
.+ |
|
|
|
|
|
! |
|
|
~:L __ I__\___І А
о-·--'--"~---"--------..
--ft/4 |
о |
1'14 |
х |
|
|
|
5.6) Дальність польоту снаряда є випадковою величиною, яку можна опи-
1 |
Середня даль- |
сати норМ3.!!ЬНЮ1 розподілом з дисперсією D[ х] = 900 ivt - . |
ність польоту снаряда дорівнює 2000 м. Чому дорівнює ймовірність того, що
при поетр1ш:
21
1)снаряд відхилиться від цілі (середньої дальності польоту) по абсолют
ній всли'fині не більше ніж на 20 .м;
2)снаряд пролетить на менше 1800 _м і не більше 2080 ,w;
3)знайти інтсрвап, в який попадає снаряд з ймовірністю 0,9973.
Ро:ш'язок
За ум.овою задачі відомо, що cr(X) =~D[X] =30л-r.
І) Щоб знайти відхилення на велиqину є= 20.м, користуємось формулою
Р{\х- аІ<є}=2Ф(-;),
де є=20, а=2000.
З таблиці зна<rснь для функції Ф(х) знаходи~ю, що
Ф(-;)=Ф(О,667)= 0,2476,
тоді
Р{Іх - а\< 20} = 2 · 0,2476 = 0,4952.
2) Для й:vtовірrюсті того, що нормально розподілена величина попадає в
заданий інтервал, користуємось співвідношенням
За умовою а = 1800; р = 2080; а = 2000 .
Р(І 800 < х < 2080) =Ф(2,667)-Ф(-6,667) = 0,4962 -'-0.5 =О.9962.
З) Відомо, що випадкова вспичина, яка має нормальний ро·311оділ, падає
на інтервал (а - 3cr; а+ Зсr) з ймовірпостью 0,9973. Тому шуканий інтервал
дорівнює 2000 - 120<х < 2000 + 120, або 1880 < х < 2120.
6. У резу.~ьтаті випробувань одержано п пар |
'fИСе.1 (х J, у 1), (х 2 , у 2 ), |
.. ., (х 11 , у11 ) • Методом найменших квадратів |
знайти рівняння прямої |
ух = рх + h, щоб вона бу.1а розміщена щонайближче до цієї сукупності то
чок на площині.
Розв'язок Значення коефіцієнтів р і Ь знаходимо із такої системи:
22
|
|
п 2 |
п |
п |
|
|
|
|
|
рІхі +ь2:хі=Іхіуі: |
|
|
|||
|
jі=[ |
і=І |
і-,=[ |
|
|
|
|
|
|
п |
п |
|
|
|
|
|
l |
РІ хі +hn= LYi · |
|
|
|
||
|
і=\ |
і=І |
|
|
|
|
|
Приклад. Задана сукупність точок (J; |
11), (2; |
10), (J: |
13). (4; |
14), (5; 16), |
|||
(.6; 15), (7; |
18). За умовою задачі п== 7 . Необхідні обчислення наведені у таб |
||||||
лиці. |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Х·І |
|
2 |
|
Уі |
|
Xj)' j |
|
хі |
|
|
||||
l |
1 |
|
І |
|
І 1 |
|
l] |
2 |
2 |
|
4 |
|
10 |
|
20 |
3 |
3 |
|
9 |
|
[J |
|
39 |
4 |
4 |
|
16 |
|
14 |
|
56 |
5 |
5 |
|
25 |
|
16 |
|
80 |
6 |
б |
|
36 |
І |
15 |
і |
90 |
7 |
7 |
|
49 |
18 |
І |
126 |
|
|
І |
||||||
~ |
28 |
|
140 |
І |
97 |
422 |
|
Для визначення параметрів лінії регресії складаємо систему рівнянь
f140p + 28h = 422; l 28p+7h = 97.
Систему рівнянь розв'язуємо методО">І Крамсра.
1 |
28 |
=196: |
л=J;~ |
7 1= 980 - 784 |
л |
|
140 |
422 |
!= 13580 - |
11816 '-= 1764· |
|
||
h |
=1 |
|
|
|
||||
|
28 |
|
97 j |
|
' |
|||
|
|
лf) |
238 |
|
л |
1764 |
|
|
рс=-=-= І ?7- /J-=-h = - - = 9 |
. |
|||||||
|
|
Л |
|
196 ' - ' |
Л |
l 96 |
||
Відповідь: У :с І,27х + 9.
23
У системі ХОУ будуємо множину експериментальних точок і рівняння лі
нії регресії.
а 1 2 з 4 5 6 7 в
7. |
Знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії |
ух - у= ч8 ~(х- ~) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах |
|
за даними кореляційно[ таблиці. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1,5 |
2,5 |
3,5 |
4,5 |
|
5,5 |
6,5 |
7,5 |
|
&.5 |
пу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15 |
4 |
5 |
І |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25 |
1 |
з |
І |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
35 |
2 |
J |
6 |
|
з |
|
|
|
20 |
|||
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
5 |
9 |
19 |
|
8 |
7 |
2 |
|
1 |
51 |
|
55 |
|
1 |
2 |
7 |
|
16 |
9 |
4 |
|
2 |
41 |
|
65 |
|
|
І |
5 |
|
6 |
4 |
2 |
|
2 |
20 |
|
75 |
|
|
|
|
І |
|
|
І |
І |
3 |
4 |
|
пх |
7 |
17 |
19 |
36 |
33 |
21 |
9 |
8 |
150 |
|||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Розв'язок |
|
|
|
|
|
|||
|
- |
- |
а1, |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
У рівнянні Ух - у=ч 8 -·· (х-х) є такі позначення:
ах
п
L:піУі
у-"'і=~!,____ - умовна середня змінної У;
п
п
L:nixi
х · і=І - умовна середня змінної Х;
п
24
п
L пх~,ХіУі-п-;у
ч6 = і=І . |
- вибірковий коефіцієнт кореляції; |
па ха у |
|
ах=Jn[ х], ау=Jn[y] - вибіркові середні квадратичні відхилення:
п J
L:піУі
2 |
2 і=І |
х |
|
п |
п |
де D[x], D[у)-вибірковідисперсії.
За даними таблиці і п= 150 обчислюємо у, х. х '.у', и ,, и." ч,
Шукане рівняння Ух -47,4 = 2, 97(х- 4,9). або ух= 2,97х + 32,85.
6. Відомий емпіричний розподіл вибірки. Необхідно перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукуппості за допомогою критерія
Пірсона при рівні значущості а= О, О1.
Х·І
пі
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
4() |
45 |
50 |
І |
55 |
|
|||||||||
6 |
13 |
36 |
74 |
106 |
85 |
30 |
10 |
І |
4 |
Ршв'язок
Спочатку знаходюю теоретичні частоти п і нормального розподілу. Об
числюємо вибіркову середню та вибіркове середньоквадратичпе відхилеппя
'За форчулами:
Для обчис.1сння цих параметрів користуйтесь метода"vІи, які наведені в [І,
2]. За даним розподілом х 6 = 34, 7, а 6 = 7, 38 . Для обчислення тсорстисших
частот введемо умовну варіанту И'і = Xj-XB . Із таб).1нщ. значень функції
Gв
<р(х) беремо зпачення функції <.р(11 і) і обчислюємо теоретичні частоти
25