Перестанов1'.u. Різні впорядковані множини, які утворені з однієї множи ни, називаються перестановками. Число перестановок множини з п елементів
дорівнює Рп =п!
Перестановки відрізняються одна від іншої тільки порядком розташуван ня елементів.
Перестанов;си з повторен11юли. Число різних перестановок, які можна утворити з елементів, серед яких є k 1 елементів першого типу, k 2 е,1емептів
другого типу, ... , k т елементів т-го типу, дорівнює
Зауваження: між сполуками, роз:v~іщенням і перестановками існує такий
зв'язок:
A k _ Ckk'- C'kp
п- п . - п k
Приклад. На диску секретного замка нанесені !2 літер, а відкрити замок мож ливо тільки набравши одну визначену комбінацію з 11'яти літер. Скільки неві\алих спроб зробить людина, щоб відкрити замок, якщо:
а) людина не знає секретне слово;
б) відомо тільки те, що секретне слово записане з різних букв.
Кількість спроб у першому випа1~ку підраховується як число розм1щень з
п= 12 елементів по k = 5 елементів і можуть повторюватися. тобто
а в другому випадку розміщення без повторень. Тоді
А~2 = 12 · ! І · ІО·9 · 8 = 95040 .
Приклад. Група студентів вивчає дев'ять різних пред~1етів. Кожний день 1аняття проводять по 'Ютирьох із них. Скількома способами :.южливо:
а) вибрати чотири нредмети на один день; б) скласти розклад занять на ОJ\ІІН 11ень;
в) скласти розклад на один )\ень з вказаних чотирьох пре;1метів.
4 |
9! |
|
4 |
9! ' |
а) С9=~=126: б) A |
9 |
=-=_,Q24; |
||
. |
4!5! |
. |
5! |
|
Перевіримо зауваження: А~= С~Р4
в) р, = 4!= 24.
-t
=3024 = 126 · 24 00. 3024.
6
Випадкові подіі
Подія, яка внаслідок експерименту може з'явитися чи не з'явитися, нази вається випадковою. Випадкові події позначають латинськими літерами А, В,
С, D, .... Ймовірність випадкової події позначають Р(А) та обчислюють за
наступною формулою:
Р(А)= т, |
(l) |
п |
|
де п - загальне (всіляке) число іспитів, т - число іспитів, де з'являється подія
А. Відносна частота W(A) події А є відношення
(2)
де п 1 - загальне число іспитів, т 1 - число іспитів, у яких подія А з'явилась.
Ймовірність добутку Р(АВ) двох незалежних подій А і В знаходять за фо
рмулою |
|
Р(АВ) = Р(А)Р(В), |
(3) |
а залежних подій |
|
Р(АВ) = Р(А)РА(В), |
(4) |
де Р(А), Р(В) - ймовірність наступу події А та В; РА(В) -умовна ймовірність події В у припущенні, що подія А відбулась.
Ймовірність суми Р(А +В):
а) двох несумісних подій А та В
Р(А +В)= Р(А) + Р(В); |
(5) |
б) двох сумісних подій А і В
Р(А +В)= Р(А) + Р(В)- Р(АВ).
Якщо події А та А протилежні (тобто поява однієї виключає наступ дру
гої), то маємо залежність
Р(А)+Р(А)=1. (6)
Ймовірність Р(А) появи події А, яка може з'явитися тільки внаслідок по
яви однієї із несумісних подій Ні (і= l, 2, ... , п) , які утворюють повну групу,
знаходять за формулою повної ймовірності
7
п |
|
Р(А)-== І Р(Ні)РН,( І). |
(7) |
і=І
Ймовірність РА (Нk) події (гіпотези) Нk, після того як подія А здійсни
лась, обчислюють за формулою Байєса:
Р(Н k)PHk(.·1) |
(8) |
РА.(Н k)= п |
І Р(Ні)РН,(А)
і=І
Схема повторних випробувань
Ймовірність того, що подія А відбудеться рівно k раз в серії з п випробу-
(k) |
· |
о |
б |
числюється за |
ф |
ормулою |
Б |
|
. |
|||
вань, позначається рп |
1 |
|
|
|
ернулт |
|||||||
р (k) _ |
|
-,k |
k |
n-k _ |
п! |
k |
n-k |
(9) |
||||
п |
-СпР |
q |
-(n-k)!k!P |
Ч |
|
|
||||||
|
|
q = l - р. (k =О, l, 2, .. .п), |
|
|
|
|
||||||
дер - ймовірність наступу події А в одному випробуванні. |
|
|||||||||||
У результаті п випробувань подія А може появитись О, |
І, 2, ..., п раз. Ці |
|||||||||||
події утворюють повну групу подій, тому |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
Й:vювірність того, що в серії з п випробувань подія А наступить:
1) менше k разів; 2) більше k разів; З) не менше k разів; 4) вс більше k ра3ів; 5) від k 1 до k 2 разів. :vюжна вшначити з таких співвідношень:
|
(О)~Р(І)..._ |
|
p(k-1)= |
k-1 |
|
|
|
||||
|
... + |
"р(т) |
( 11) |
||||||||
|
рп |
' |
п |
' |
п |
|
L.. |
п |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m=O |
|
|
|
|
(k+l)+P(k+2)+ |
+Р(п)= |
п |
|
|
|
|||||
P |
'\""' р(т). |
(12) |
|||||||||
п |
·п |
|
·····п |
|
L.. |
|
п• |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m=k+I |
|
|
|
|
(k) |
+ |
p(k..-1) |
+... |
.._р(п)_ |
~ р(т). |
(І З) |
||||
|
P п |
п |
|
п |
- |
L.. |
п |
' |
|||
m=k
8
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
(k 1 )+P(k+I) |
+ ... + |
p(kJ= |
~ р(т) |
(15) |
|||
P п |
. |
п |
п |
L. |
п |
||
m=k 1
Ймовірність появи події А хоч один ра'~ в n випробуваппях дорівнює
(16)
Для велию1х значень п і k замість формули Бернуллі користуються на
ближеними значеннями, які знаходимо за локальною формулою Лапласа
|
(k) |
І |
( 17) |
|
|
Рп |
"' |
г::=ср(х), |
|
|
|
|
-vnpq |
|
|
х |
|
|
|
де х= k ~;ср(х)= ~е 2, функція ср(х) парна, тобто ср(-х)=ср(х). |
|
|||
-vnpq |
v2rr |
|
|
|
Для х ~ 5 функція ср(х) =О. Інші значення ср(х) для додатних х приведені
в додатку І.
Ймовірність того, що в п незалежних випробуваннях подія А наступить не
менше k 1 раз і не більше k 2 раз, визначається за інтегральною формулою
Лапласа
( 18)
|
k |
- пр |
k - пр |
|
х |
|
|
|
де ХІ= |
І ·\ -- |
функція Лапласа. |
||||||
|
~ |
; х2= |
}пр;; |
;Ф(х) = с;- Je |
2 |
d;; - |
||
|
-V npq |
|
npq |
"2п 0 |
|
|
|
|
Функція Ф(х) -непарна, тобто Ф(-х)=-Ф(х).
Функція Ф(х) затабулірована і її значення приведені в додатку 2.
Для х ~ 5 функцію Ф(х) прий,..шють рівною 0,5.
Якщо ймовірність появи однієї події А ду,ке мала, тобто р близько до О,
або набагато менше, ніж l, а число випробувань п дуже велике і
п· р =Л.= const, то можливо використати наступний вираз:
(k) |
J, k |
-Л. |
|
Р11 |
"'-е |
, k =О, 1, 2, ... |
(19) |
|
k! |
|
|
Ця формула належить С. Пуассону.
9
Ви11адкові ВСЛИЧИІІИ
Випадковою називають таку величину, яка в проведено"'1:у експерименті
приймає те чи інше значення, а..1е невідомо, яке саме.
Випадкові величини поділяють на дискретні та неперервні. Дискретну випадкову величину, яка приймає оr---ремі ізольовані значення, задають за до
помогою ряду розподілу - таблицею, в якій є перелік всіх можливих значень
хі випадкової величини Хта відповідні їм ймовірпості рі, причому:
п |
х |
х, |
х~ |
х ,, |
LPi=l: |
р |
р, |
р , |
Р. |
і=І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неперервна випадкова величина Х- |
це така випадкова величина, що при |
|||
ймає будь-яке значення з обмсжепоrо або безмежного інтервалу. Її визнача
ють за допомогою функції розподілу F(x), яка неперервна на всій числовій
осі R=(--aJ,oo) і має всюди похідну .f(x). Функція розподілу F(x) визнача
ється чсре:з ймовірність того, що випадкова величина Х приймає значення,
менше за х, тобто
F(x)-=P(X<x).
Властивості функції розподілу:
І. F(x) - невід'ємна, неспадна функція, тобто при
2.Ііm F(x) =О;
X--7 --a:J
3. lim f '(x) = І.
Х--700
Ймовірність попадання випадкової величини Х, яка задана функцією роз
поділу F(x), в проміжок (а,()) дорівпює приросту F(x) па цьому про~1іжку,
тобто
Р{а s: х < р} = F (()) - F (а) .
!11тсrраль11а функція F (х) для дискретної випадкової величини має сту
пеневий вигляд. Якщо функцію розподілу F (х) випадкової величини Х мож
на подати у вигляді
х
F(x) = J.f(t)dt,
10