Материал: 683
,О |
О 6 |
І |
1 5 |
2 |
2 |
4 |
Р(А)=Сб ·р |
q |
+Сб·Р |
q |
+Сб ·р |
q |
=0,9. |
в) Подія В - з 1ОО покупців 30 зроби,1и покупки. Число випробувань (кі JІІ,кість покупців) п= І ОО велике і використаємось локальною теоремою Лап
ласа ( 17), ко:ти т =30:
|
|
|
|
|
(30) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(В)=Р100 |
= с=<р(х); |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
-vnpq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т - пр 30-100·0,2 |
- 2.5 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Х=--= |
~100·0,2·0.8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
-ГпРЧ |
. |
|
|
|
|
|
||
з |
таблиці |
значень |
функції |
<р(х) (додаток |
І) |
3НаХОДИМО |
||||||
<р(х) = <р(2, 5) -= 0,0175. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(В)= _!_·0,0175 = 0.0044 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Ймовірність події С - |
що з 400 покупців не менше 50 і не бі,1ьш |
l ОО |
||||||||||
куплять |
товар, |
необхідно |
знайти |
за |
формулою ( 18). |
Для |
таких значень |
|||||
n = 400, k 1 = 50 і k1 = 100: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k 1 |
-пр |
50-400-0,2 =-3 75· |
|
|
|
||||
|
|
х1 = |
r;;;;q .J100. 0,2. 0,8 |
, |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
k |
2 -пр |
100 - 400-0,2 =2,5. |
|
|
|
|
|||
|
|
х2 = |
с= |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-vnpq |
|
|
|
|
|
|
|
||
З таблиці |
значень |
функції |
Ф(х) (додаток |
2) |
визначаою, |
що |
||||||
Ф(-3,75) =-Ф(З,75) = - 0,4999, Ф(2,5) = 0,4938 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(С) = Р4оо(50 < k < 100) = Ф(2,5)-Ф(-3,75) = 0,4938+ 0,4999 =0,9957 .
4. а) З ящика, в якому лежать 5 стандартних та 2 нестандартні деталі. на вмання вийняли 2 деталі. Скласти закон розподілу випадкової вслич:ини Х -
чиспа вийнятих нестандартних дста.аей. Знайп1 матсматич:нс оч1кувапня
М [х) і дисперсію D[x) цієї випадкової ве.ш•шпи.
16
Розв'язок
Х - дискретна випадкова величина, яка може прийняти значення О, І, 2, 3,
4 (число 6 може з'явитись тільки таку кількість разів при чотирьох
підкиданнях). Ймовірність цих значень визначаємо за формулою Бернуллі
(9). Заумовою задачі п=4; р= _!_; |
q =~. |
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(0) |
|
'о |
о |
|
4 |
-"" 0,48; |
Ро=Р(х=О)=Р4 =С4р |
q |
|
|||||||
|
|
|
(!) |
|
І |
І 3 |
|
||
P1=P(x=l)=P4 |
=С4р |
q |
=0,39; |
||||||
. |
) |
= |
р(2) |
= |
С'2 |
2 |
q |
2 |
О/? |
Р2= р(Х= 2 |
|
4 |
4р |
|
|
= ,_; |
|||
Рз =Р(х = З)= Р4(3) =С 43р 3q |
І |
=0,01; |
|||||||
4
Перевірка: L Рі = 0,48 + 0,39 ~ 0,12 + 0,01 +О = І.
|
|
і=О |
|
|
|
|
|
Закон розподілу приймає вигляд |
|
|
|
||||
х |
І |
о |
І |
І |
2 |
3 |
4 |
р |
|
0,48 |
|
0,33 |
0,12 |
ОЛІ |
о |
Знайдемо значення функції роз1юділу F(x) і нанесемо їх на рисунок: |
|||||||
--х:<х~О |
F(x)=P(x<O)=O; |
|
|
|
|||
О<х~І |
|
F(x) = Р(х < 1) = Р(х =О)= О, 48; |
|
|
|||
І <х~2 |
|
F(x) =Р(х < 2) = Р(х =О)+ Р(х = 1) = 0,87; |
|
||||
2<х~3 |
|
F(x) = Р(х < З)= Р(х =О)+ Р(х = 1) + Р(х = 2) =О, 99; |
|
||||
3<х~4 |
|
F(x) = Р(х < 4) -= Р(х =О), Р(х "" \) + Р(х = 2) _.._ Р(х = 3) = l; |
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4<х<оо |
F(x) = |
|
L рі =J _ |
|
|
|
|
і=/1
18
F(x)
~
0,5 ,____
о |
2 |
з |
4 |
х |
5. а) Відома функція щільності розподі,1у випадкової величини х:
о |
|
|
те |
,якщо |
-YJ <х <-- |
||
|
|
|
2 |
j(x)= Acos 2 х |
|
те |
те |
,якщо |
--:с:;х:с:;- |
||
|
|
2 |
2 |
о |
|
1t |
|
,якщо |
Х>- |
|
|
|
|
2 |
|
Потрібно:
І) Знайти значення коефіцієпта А;
2)Обчис.:шти функцію розподілу F(x);
3)Обчиспити математичне очікування М [ Х] і середньо квадратичне від
хилення а[Х];
4) Чому дорівнює ймовірність того, що х приймає значення з інтервалу
(о.~}
5) Побудувати графіки /(х) та F(x).
Розв'язок
І. Х - неперервна випадкова ве,1ичина. Значення коефіцієпта А визначає мо за формулою (20). За умовою функція щільності розподілу не дорівнює
. |
. |
.г те теj |
,тому |
пулю пльки па штерваш L-2; 2 |
|||
к/2
f f(x)(/x =І;
-тт/2
19
л/2 |
л/7 |
|
( |
x+sin2x) |
lrr.1 2 |
|
J Acos2xt:ix=A |
( |
l+cos2xdx=_i |
=_i·n=J· |
|||
-л/2 |
-тт1' 2 |
2 |
2\ |
2 |
-л/2 2 |
, |
І
А=-=-.
1t
2. Функцію розподілу випадкової величини визначаємо за співвідношен
ням:
х
F(x) = J f(x)dx.
Щільність розподілу має різний вигляд на трьох інтерва,1ах. Визначаємо F(x) на кожному із іптервалів:
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
а) -оо<х<-~. f(х)=О,то F(x)= |
J OcL\"=0; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
-а_; |
|
|
|
|
|
п |
|
п . |
2 |
|
2 |
|
-лІ 2 |
|
х |
|
|
|
6)--~х~-, f(x)=-cos |
|
х,то F(x)= |
J Od\"+ |
J /(x)di:= |
|
|||||||
2 |
|
2 |
1t |
|
|
|
-оо |
|
-тт/2 |
|
|
|
=- хJ ms |
2 |
xdr-=- |
хJ І+са;2хdx=ll'- х+-- |
|
=-І(х+-Іsю2\"+-п) |
; |
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
sin2x)x |
|
|
. |
|
||
1t -тт/2 |
|
1t -тr./2 2 |
|
те |
2 |
-л/2 |
п |
2 |
2 |
|
||
|
|
|
-тг./2 |
|
|
тr/2 |
|
ТJ |
|
|
|
|
1t |
|
. |
f |
OdY+ J eosxd\"+ |
J Odx=I; |
|
|
|||||
в) х>-,то |
F(x)= |
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
-тr,/2 |
|
тг.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) функцію розподілу запишемо у вигляді:
|
о |
|
1t |
|
|
,коли |
х<-- |
|
|
1 . |
І . |
|
2 |
|
те |
п: |
1t |
||
F ( х)= -(x+-sin2x+-) ,коли |
--~х~- |
|||
1t |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
те |
|
|
|
,коли |
х>- |
|
|
|
|
2 |
|
3. Математичне очікування ЛІ[Х] визначаємо за формулою (23)
2 |
тrІ2 |
2 |
2 |
лІ2 |
І + cos 2х |
М[Х]=- |
J |
xcos |
xcl\"=- |
J |
x---dx=O. |
п:-тr/2 |
|
1t--n:/2 |
2 |
||
20