Материал: 683

l) вслиqина Х приймає значення із проміжку (О; З);

2) відхилення Х від середнього значення за абсолютною величиною не

перевищує 5 CJvt.

6.12. Зріст жінок є випадкова величина, яка розподілена за нормальним

'Jаконом з дисперсією 49 с.л/ і математичним сподіванням 164 01. Знайти

ймовірність того, що зріст навмання обраної жінки: І) знаходиться від 160 до 170 см;

2) відхиляється від середнього зросту не більше ніж на 12 cir.

6.13. Похибки вимірювання довжини деталі є випадкова величина, яка

розподілена за нормальним законом з дисперсією 0,04 мА~2. Знайти ймовір­

ність того, що похибка вимірювання навмання обраної деталі:

І) знаходяться в проміжку (О; І) мм;

2) за абсолютною величиною не перевищує 0,5 .л-1,1w. Знайти інтервал, в

якому з ймовірністю 0,9973 знаходяться похибки вимірювання.

6.14. Дальність польоту куні є випадкова ве;шчина, яка розпо::1ілсна за

нормальним законом з параметрами М [х] = 2000 м, а[х] = 64 м. Знайти

ймовірність того, що при одному пострілу:

l)куля зробить перельот від середньої дальності не більше ніж на 20 м;

2)відхилення від середньої дальності ту чи іншу сторону не перевищує

15.н.

6.15.Час знаходження вагонів на сортувальній гірці є випадкова величина

Х, яка має параметри М[х]=3 год, D[x]=0,25 год2• Знайти ймовірність то­

го, що час знаходження деякого вагона на сортувальній гірці:

І) буде перевищувати середній час не більше, ніж на 0,5 год; 2) буде знаходитися в межах від 2 год до 5 год. Знайти інтервал, в якому з

ймовірністю 0,9973 знаходиться час перебування вагона на сортувальній гір­

щ.

6.16. Вертикальні переміщеmrя вагона в процесі руху поїзда - випадкова величина Х. яка підлягає нормальному закопу розподілу з дисперсією пере­

міщення D[x]=lб ,«,н2 . Визначити ймовірність того, що:

І) переміщення не перевищить І О Аtн;

2) переміщення будуть знаходиться в іrпервалі 3-8 АНІ.

6.17. Зріст чоловіків є випадковою велиqиною, яка розподілена за норма­ пьним законом з математичним сподіванням а со.- 174 см та дисперсією

46

D [ х] = 25 см2 . Скласти інтегральну та диференціальну функції розподілу.

Обчислити ймовірність того, що наздогад вибраний чоловік:

1)буде мати зріст від 180 до 200 еч;

2)буде мати зріст не менше 170 си.

6.18.Відхилення довжин виготовлених деталей від стандарту є випадко­

вою величиною, розподіленою за нормальним законом з дисперсією

D[х] = 25 м.~/. Яку то•шість довжини деталі можна гарантувати із ймовірніс­

тю 0,9? Яка ймовірність того, що відх1шення довжини наздогад вибраної де­ талі буде не менше 2 мл1 та не більше 4 мм? Ск.1асти та зобразити графічпо­ інтегральну та диференціальну функції розподі,1у.

6.19. Зріст жінок - випадкова величина, розподілена за нормальним зако­ ном з параметрами а= 164 ctt та cr = 5,5 с.м. Обчислити ймовірність того, що зріст випадково вибраної жінки:

І) буде знаходитися в межах від 168 до 172 см; 2) відхилення зросту від середнього за абсолютною ве.1ичшюю буде

меншим l О сн;

3)скласти інтегральну та диференціальну функції розподілу.

6.20.Випадкові похибки вимірювання підлягають нормальному закону із середньоквадратичним відхиленням а= З, 2. Визначити найбі.1ьше відхилен­

ня випадкової похибки від її середнього значення, якщо ймовірність цього

відхилення Р = 0,96. Скласти та зобразити графічно-інтегральну та диферен­

ціальну функції розподілу.

6.21. Число вагонів у поїзді, який прибуває для розформування - випад­ кова величина, яка розподілена за норма..1ьним законом з параметрами а = 60

та u = 5. Визначити ймовірність того, що в поїзді:

І) не більше 52 вагонів;

2) число вагонів не менше 52 та не більше 62 .

6.22. Випадкова величина Х розподі.1ена за нормальним законом з мате­

матичшrм сподіванням а -= О. Ймовірність попадання величини Х в інтервал

(--8; 8) дорівнює 0,4. Чому дорівнює й:-.~овірність того, що відхилення випад­

кової величини Х від її середнього значення за абсолютною величиною не перевищує 20? Визначити інтервал, у якому з ймовірністю 0,9927 :знаходить­

ся величина Х.

6.23. Зважується деяка речовина. Випадкові похибки :зважування підля­

гають нормальному 'Закону із середнім квадратичним відхиленням u = 18 г.

47

Знайти ймовірність того, що зважування буде проведено з похибкою, яка не

перевищує за абсолютною величиною 12 г. Визначити інтервал, в якому із

ймовірністю 0,9927 будуть знаходиться похибки зважування.

6.24.Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом із серед­ нім квадратичним відхиленням а= 4. Визначити інтервал, симетричний від­ посІю математичного сподівання а= 1ОО, в який із ймовірністю 0,8414 попа­ де випадкова величина в процесі експерименту. Ск.лщ,·ти та зобразити графі­ чно інтегральну та диференціальну функції розподілу.

6.25.Випадкова величина Х підлягає нормальному закону з математич­

ним сподіванням а= О. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в

інтервал (-5; 5) дорівнює 0,5. Визначити середнє квадратичне відхилення а та вказати інтервал, в якому із ймовірністю 0,9927 можуть бути розміщені

значення випадкової величини. Ск.1аст11 та зобразити графічно інтегральну та

диференціальну функції розподілу.

6.26. Випадкова величина Х - час знаходження поїзда на сортувааьній ко­ лії, розподілена за нормальним законом з параметрами а = 4 та а= 1. Визна­ чити ймовірність того, що час знаходження поїзда коливається від З до 6 го­ дин. Вказати інтервал, в яко"'1.у з ймовірністю 0,9927 буде знаходитися випад­

кова величина.

6.27. Кількість вагонів, які прибувають на вантажну станцію - випадкова величина Х, яка розподілена за нормальним законом із середнім квадратич­ ним відхиленням а= 12 та середнім значенням а= 40 вагонів 'За добу. Ви­

значити ймовірність того, що за добу прибуде:

1)від 30 до 50 вагонів;

2)не більше 40 вагонів.

Скласти диференціальну функuію цього розподілу.

6.28. Час переходу поїзда через перегін - випадкова величина. розподіле­

на за нормальним законом з параметрами а= 25 хв та а= І, 7 хв. Визначити

ймовірність того, що час переходу буде:

1)більшим 25 хв;

2)від 20 ДО 30 хв.

6.29.Зріст чоловіків ро:юоділяється за пормальни~1 законом з пара:v~стром

1vf[x]=l72 ии, D[x]=64 cAi2. Знайти ймовірність того, щоб зріст навмання

обраного чоловіка:

1) знаходиться в межах від 175 до 185 с:и;

48

2) відхилення від середнього зросту за абсолютною величиною не пере­ вищує 12 с.м. Знайти інтервал, в якому з ймовірністю 99,73% знаходиться зріст довільного чоловіка.

6.30. Відхилення діаметра вагонного колеса від стандартного розміру під­

коряється нормальному закопу розподілу з дисперсією ОА .'4.м~. Знайти інтер­

вал, в якому з ЙУІовірністю 0,9973 знаходиться відхипеппя діаметрів вагонних

коліс. Знайти ймовірність того, що відхилення навмання обраного колеса:

І) нсперевищує2м.н;

2)буде знаходитися в межах від - J до 2 .'vШ.

7.1-7.30. За результатами випробувань отримано 5 пар чисел (х1, УІ),

(х2, У2). (х3, Уз), (х4, у4) і (х5, Ys)- Методом найменших квадратів

знайти параУІетри р і h такі, щоб пряма У= рх + h була розміщена найближче

до цієї сукупності точок на площині.

49

8.1-8.30. У таблиці 7.1-7.30 наведені дані в умовних одиницях про стати­ стпчний зв' язок між випадковими величинами (Х, У), які зведені в кореляцій­ ну таблицю. На. підставі цих даних необхідно:

а) скласти лінійні рівняння регресії У на Х;

в) за допомогою кофіцієпта кореляції оцінити лінійну тісноту сполучнос­

ті між цими ознака:v~и.

50