Материал: 683

вої величини Х - числа швидких поїздів серед трьох прибувших. Обчислити математичне сподівання.

4.29.Монету підкидають тричі. Скласти закон розподілу та обчислити

дисперсію випадкової величини Х- числа випадань герба.

4.30.Скласти закон розподілу, обчислити математичне сподівання та ди­

сперсію випадкової величини Х- числа карт пікової масті серед наздогад ви­

браних 4-х карт із 36.

5.1-5.15. Відома щільність розподілу f(x) неперервної випадкової вели-

чини Х. Визначити:

І) коефіцієнт А;

2)функцію розподі.1у F(x):

3)схематично на11.-рсслити графіюr /(х) та F(x);

4)вирахувати математичне очікування і дисперсію величини Х;

5) знайти ймовірність попадання випадкової величини па проміжок

5.4. /(х)=Ае-х. при х?:О. a=l; j3=2.

41

5.16-5.30. Відома функція розподілу F(x) неперервної випадкової вели-

чини Х. Потрібно:

І) визначити щільність розподілу /(х);

2) знайти невідо:v1і коефіцієнти А, В;

З) побудувати схематично графіки /(х) і F(x);

4) обчислити зпачеппя математичного очікування і дісперсію величини Х;

42

5) знайти ймовірність попадання випадкової ве;тичини Х у проміжок

(а, 13).

5.17. F(x)=\12+ Aarctgx/2, а=-2, f3=2.

43

6.1. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом розподілу з дисперсією 400. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного

сподівання М [х] = 80, в який з ймовірністю 0,9 потрапляє Хпри іспиті. Знай­

ти ймовірність того, що при іспиті випадкова величина Х:

І) відхилення Х за абсолютною всличипою від середнього ·лшчення не

перевищує 50;

2)приймає значення з проміжку (79; 100).

6.2.Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом розподілу

зпараметрами М[х] = 1Осм і D[x] = 16 с.и2• Зпайти ймовірність того, що при

іспиті відхи.1ення Х від її середнього значення за абсолютною величиною бу­

де не бі.1ьше 5 см. Знайти інтервал, в якому з ймовірністю 99,73% знаходять­

ся значешrn Х.

6.3. Похибки ВИ.\Іірювання довжини деталі підкорені нормальному розпо­

ділу з параметром D[x] = О,25м.лr2. Знайти ймовірність того, що при вимірю­

ванні навмання обраної деталі:

І) похибка за абсо.1ютною величиною не буде більше І мм;

2)похибка буде знаходитись в межах від - І до 2 л1м.

6.4.Дальність польоту снаряду є випадкова величина, яка розподілена за

нормальни.\1 законом з дисперсією 6400 .и~. Середня да.~ьність польоту дорів­

нює 8000 .и. Знайти ймовірність того, що дальність польоту даного снаряду:

1)перевищує середню дальність не більше ніж на 200 .н;

2)відхи.шться від середньої дюьності не більше ніж на 100 .н. Знайти ін­

тервал, в якому з ймовірністю 0,9973 знаходяться дальності польоту спаря­

дш.

6.5. Випадкова величина Х розподі.1ена за нормюьпи:v1 законом розподілу

з дисперсією D [х] = 16. Знайти інтервал, симетричний відносно мате:v~атич-

пого сподівання М [ х] =І О, в якій з ймовірністю 0,8414 потрапляє випадкова

44

величина Х при іспиті. Знайти ймовірність того, що при іспиті Х приймає значення із проміжку (5, 20).

6.6. Похибки вимірювання фізичної величини є випадкова величина Х,

яка розподілена за нормальним законом розподілу з дисперсією

?

D [х) =О,9 мм - . Знайти ймовірність того, що при вимірюванні навмання об-

раної фізичної величини:

1)похибка буде ·шаходитись в проміжку (О; 1 мм);

2)похибка за абсолютною величиною не перевищує 2 .лнt. Знайти інтер­ вал, в якому з ймовірністю 99,73% знаходяться похибки вимірювання.

6.7. Випадкова величина Т - час знаходження потяга на сортувальній гір­

ці - розподілена за нормальним законом з параметрами t ср =2 години;

D[t) = 1 год2. Знайти ймовірність того, що час знаходження деякого потята па

сортувальній гірці:

І) від 1 години до 3 годин; 2) відхилиться від середнього часу не більше піж на 2 години.

6.8. Відхи,1сння довжини болтів від стандартної, яка дорівнює 80 .м.м, є

випадкова величина, яка розподілена за нормальним законом з cr[ х] = 0,2 мм.

Знайти й:-.ювірність того, що довжина навмання обраного болта буде мати:

1)розмір у межах 80,О І; 80,06 мм;

2)відхилення від стандартної довжини не більше 0,5 "юt.

Знайти інтервал, в якorvry з ймовірністю 99,73% знаходяться довжини бол-

ТІВ.

6.9. Зріст студента - випадкова величина Х, яка ро·шоділсна за нормаль­

ним законом з дисперсією 36 c.i/. Середній зріст студента становить 170 01.

Знайти ймовірність того, що зріст навмання обраного студента:

1)знаходиться в межах від 160 САІ до 180 с.и;

2)відхиляється від середнього зросту не більше ніж на 20 с.11.

6.10.Вертикальні відхилення вагона від руху потяга є випадкова величи­

на х; яка розпо;:~:і,1епа за нормальним законом з дисперсією 4 .~1"н2 . Знайти

ймовірність того, що при русі вертикальні відхилення певного вагона:

І) пе перевищують за абсолютною величиною 3 л1.н;

2) будуть знаходитися в межах від - І до 2 мм. Знайти інтервал, в якому з

й:vювірністю 99, 73% знаходяться вертикальні відхилення вагона.

6.11. Випадкова величина Х, розподілена за нормальним законом з пара­

метрами м[х] = 4 С.И і D[x] = 9 см2• Знайти ймовірність того, ЩО при іспиті:

45