Материал: 6251

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

импульса v. Рельеф весовой функции в этом случае получается цилиндрическим, а оба рассмотренных ранее сечения совпадают по форме и отличаются только знаками аргументов. Если речь идёт о реверссмещении, то получаем полное совпадение двух весовых функций – нормальной и сопряжённой w(τ)= w(θ).

Весовая функция является, как и для систем с постоянными параметрами, исчерпывающей характеристикой САУ. Она характеризует поведение системы во времени и по её виду можно судить о качестве регулирования.

Кроме того, по известной функции веса можно получать процесс на выходе системы при заданном входном воздействии. Действительно, при входном сигнале g(t) выход может быть подсчитан согласно принципу суперпозиции, как сумма (в пределе интеграл) элементарных реакций на

импульсы с амплитудой g(v), 0 ≤ v ≤ t . Таким образом,
y(t)= ∫t	w(t − v,v)g(v)dv .	(1.2.12)
0

Учитывая физическую реализуемость системы, верхний предел в последнем выражении можно поменять на бесконечность

y(t)= ∞∫w(t − v,v)g(v)dv .

(1.2.13)

Переходя к реверс-смещению, получим интеграл свёртки

y(t)= ∫t	w(θ,t − θ)g(t − θ)dθ .	(1.2.14)
0

Как видно, в выражениях (1.2.12)-(1.2.14) используется сопряжённая функция веса.

Весовую функцию можно найти, решая дифференциальное уравнение системы. Вспомним общее решение дифференциального уравнения (1.2.3) при нулевых начальных условиях по методу вариации параметров (см. [1], с. 16)

t		1
y(t)= ∫	f (λ)
y(t)= ∫	f (λ)	a (λ)V(λ)
0		0

∑n	yi	(t)Vni	(λ) dλ ,	(1.2.15)
i=1

где V(λ) – определитель Вронского, Vni(λ) – алгебраическое дополнение вронскиана, а yi(t) – линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Выражение в квадратных скобках последнего соотношения известно как однородная функция Грина G(t − λ,λ)

G(t − λ,λ)=		1	n	(t)Vni(λ).
			∑ yi		(1.2.16)
	a	(λ)W (λ)	∑ yi		(1.2.16)
	a	(λ)W (λ)	i=1
0			i=1

Функция Грина часто используется в математической литературе и обладает целым рядом замечательных свойств.

С учётом обозначения (1.2.16) уравнение (1.2.15) можно записать как

y(t)= ∫t	f (λ)G(t − λ,λ)dλ .	(1.2.17)
0

Сравнивая выражения (1.2.17) и (1.2.12) можно сделать вывод, что если f (t)= g(t), то есть B(p,t)=1, то весовая функция совпадает с функцией Грина при 0<v<t

w(t − v,v)= G(t − v,v) при 0 < v < t,		(1.2.18)
0	при t < v.

Вычислить функцию Грина можно воспользовавшись формулой (1.2.16), если известны составляющие yi (t) общего решения однородного уравнения. Множители в выражении (1.2.16) выглядят следующим образом

(λ)

(λ) ...

(λ)

V(λ)=

yɺ

(λ)

yɺ

(λ) ...

yɺ

(λ)

(1.2.19)

...

y(n−1)(λ)

y(n−1)(λ) ...

y(n−1)(λ)

(λ)

...

(λ)

yɺ

(λ)

yɺ

(λ)

...

yɺ

(λ)

∑n

yi (t)Vni (λ)=

...

i=1

y(n−2)(λ)

(n−2)(λ)

...

(n−2)(λ)

(n−1)(t)

...

(n−1)(t)

(1.2.20)

y1(t)

(t) ...

yn(t)

(λ)

(λ) ...

(λ)

= (−1)n−1

yɺ

(λ)

yɺ

(λ) ...

yɺ

(λ)

...

(n−1)(λ)

(n−1)(λ) ...

(n−1)(λ)

Но в общем случае полином правой части не равен единице B(p,t)≠ 1

и функция Грина не совпадает с весовой функцией. Тогда вынуждающая функция будет равна

f (t)= B(p,t)g(t)= b0(t)pmg(t)+ b1(t)pm−1g(t)+ ...+ bm(t)g(t),

где p = d dt , а m<n. В этом более общем случае для определения весовой функции при известной функции Грина можно воспользоваться уравне-

нием (1.2.17). Положим g(t)= δ(t − v). Тогда выходом	системы будет
y(t)= w(t − v,v) и уравнение (1.2.15) примет вид
w(t − v,v)= ∫t [B(p,λ)δ(λ − v)]G(t − λ,λ)dλ .	(1.2.21)
0

Необходимо понимать, что соотношение (1.2.21) позволяет определить весовую функцию только для 0<v<t. Поскольку подынтегральное выражение отлично от нуля только при λ=v, пределы интегрирования можно заменить на −∞ и +∞.

Уравнение (1.2.21) не настолько сложное, как это может показаться на первый взгляд. Составляющие выражения в квадратных скобках имеют вид

b	(λ)	dkδ(λ − v)	= b	(λ)	dkδ(v − λ)	.

m−k		dλk	m−k		dλk

Интеграл, содержащий такую составляющую, равен

∞	dkδ(v − λ)	k	∞	dkδ(v − λ)
∫ G(t − λ,λ)bm−k (λ)		dλ = (−1)	∫ G(t − λ,λ)bm−k (λ)		dλ .
	k			k
−∞	dλ		−∞	d(v − λ)

Правая часть последнего выражения – интеграл свёртки функции

G(t − λ,λ) bm−k (λ)	и k-ой производной δ-функции. Воспользуемся свой-
ством интеграла свёртки
	f (k )(t) f		2	(t)= f (t) f		(k )(t),
	1		2		1	2
где f1 и f2 – произвольные функции, – операция свёртки. Получим
∞	d k δ(v − λ)			k	∞		d k	[G(t − λ,λ)bm−k (λ)]dλ.
∫ G(t − λ,λ)bm−k (λ)		dλ = (−1)			∫ δ(v − λ)
∫ G(t − λ,λ)bm−k (λ)	k	dλ = (−1)			∫ δ(v − λ)		k
−∞	dλ				−∞		dλ

Теперь применим фильтрующее свойство δ-функции1. Окончательно получим

∞	dkδ(v − λ)	k dk			[G(t − v,v)bm−k (v)],
∫ G(t − λ,λ)bm−k (λ)		dλ = (−1)
	k		dv	k
−∞	dλ

а весовая функция согласно (1.2.19) будет иметь вид

∑m (−1)k	d k	[G(t − v,v)bm−k (v)]	при 0 < v	< t,
∑m (−1)k	dvk	[G(t − v,v)bm−k (v)]	при 0 < v	< t,	(1.2.22)
w(t − v,v)= k=0	dvk				(1.2.22)
			при t < v.
0			при t < v.

1 Интеграл от произведения δ-функции на произвольную функцию равен значению этой функции в точке, в которой δ-функция принимает бесконечное значение.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11