Материал: 6251

Предполагая малость переменной составляющей коэффициентов по сравнению с постоянной составляющей, для определения нулевого приближения y0(t) полагаем в (1.2.9) F[y(t)]= 0 . Таким образом, уравнение для нулевого приближения будет иметь вид

A(p,v)y0(t)= f (t).

Это уравнение с постоянными коэффициентами и его решение не представляет никакой сложности.

Подставляя в правую часть уравнения (1.2.9) найденное нулевое приближение y0(t), а в левую часть – сумму двух слагаемых ряда (1.2.10), получим уравнение для первого приближения

A(p,v)y1(t)= F[y0(t)].

Повторяя изложенную процедуру, нетрудно получить рекуррентную формулу для вычисления k-го приближения

A(p,v)yk (t)= F[yk−1(t)].

Если очередная поправка yk (t) будет меньше наперёд заданной допустимой ошибки, то это свидетельствует о необходимости прекращения рекуррентной процедуры.

Полученный в результате решения ряд (1.2.10) сходится тем быстрее, чем медленнее меняются коэффициенты дифференциального уравнения (1.2.3).

26

1 . 2 . 2 . Вр еменны́е хар актеристики нестацио нар ных систем

Рассмотрим переходную и весовую функции систем с переменными параметрами.

Поскольку коэффициенты дифференциального уравнения системы меняются с течением времени, эти функции будут зависеть от момента приложения входного воздействия. Таким образом, переходную функцию можно обозначить как h(t − v,v)= h(τ,v), где t – текущее время, отсчитываемое, например, от момента включения системы или момента начала наблюдения за ней или момента начала изменения параметров, v – время, соответствующее поступлению на вход единичного ступенчатого воздействия, τ – текущее время, отсчитываемое от момента приложения единичного ступенчатого воздействия (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Переходная характеристика нестационарной системы

Перейдём к весовой функции, которая является, как известно, реакцией на единичный импульс. Единичную импульсную функцию можно представить как предел отношения

27

Выход системы при поступлении на вход воздействия (1.2.11), то есть весовую функцию, можно в силу принципа суперпозиции представить в виде разности смещённых на v переходных функций и изменённым в

1 v раз масштабом

Правая часть последнего выражения – производная от переходной функции по v с обратным знаком, таким образом,

( ) ∂h(t − v,v) w t − v,v = − .

∂t

Весовая функция (равно как и переходная функция) является функцией двух переменных: времени v, соответствующего моменту поступления на вход единичного импульса, и текущего времени t. Таким образом, это некоторая поверхность (рис. 1.6). Для физически реализуемых систем реакция на некоторое воздействие не может появиться раньше этого воздействия, поэтому при t<v весовая функция тождественно равна нулю w≡ 0. Таким образом, при t<v поверхность w(t − v,v) переходит в плоскость t0v. Границе перехода поверхности w(t − v,v) в плоскость t0v соответствует биссектриса t=v.

28

Сечение поверхности весовой функции w(t − v,v) вертикальной плос-

костью, параллельной оси t (рис. 1.6, а), даёт весовую функцию для фиксированного момента приложения единичного импульсного воздействия

w(t-v,v)

v=const

t

w(t-v,v)

t= const

θ

t

t=v

v

б

Рис. 1.6. Весовая характеристика

29

(v=const). Эта функция носит название нормальной функции веса. Она является параметрической функцией, так как в неё входит фиксированный параметр v=const.

Нормальная весовая функция зависит от времени t, но может быть сделана и функцией аргумента τ = t −v подстановкой t=v+τ

w(t − v,v)= w(τ,v), v = const .

Если провести сечение поверхности весовой функции w(t − v,v) вертикальной плоскостью, параллельной оси v (рис. 1.6, б), то получится кривая, образованная ординатами семейства нормальных весовых функций для фиксированного значения времени t=const. Эту кривую можно получить путём обработки семейства нормальных весовых функций, полученных для различных моментов приложения входного импульса v.

Зависимость w(t − v,v) от смещения v при фиксированном моменте времени t называется сопряжённой весовой функцией. Сопряжённая весовая функция также является параметрической функцией, так как содержит параметр t=const. Сопряжённую весовую функцию можно представить также как функцию аргумента θ = t −v , который называется ре- верс-смещением, поскольку отсчитывается от точки v=t в сторону, противоположную смещению v. Это осуществляется подстановкой в сопряжённую функцию веса значения v = t −θ при t=const

w(t − v,v)= w(θ,t − θ), t = const .

Если параметры системы не меняются, весовая функция является функцией только времени τ = t −v и не зависит от момента приложения 30