Материал: 6251

1.ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Кособым линейным системам относятся следующие классы систем. 1. Системы с запаздыванием и системы с распределёнными параметрами. 2. Системы с переменными параметрами.

3. Импульсные системы.

1.1.Системы с запаздыванием и системы с распределёнными

параметрами

1 . 1 . 1 . Математическое о писание систем с запаздыванием

Линейными системами с запаздыванием называются такие САУ, которые, имея, в общем, ту же самую структуру, что и обыкновенные линейные системы, отличаются от последних тем, что у них есть в одном или в нескольких звеньях запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной величины) на время τ. Это время называется временем запаздывания или временем транспортной задержки и остаётся постоянным во всём последующем ходе процесса управления.

Например, если обыкновенное линейное звено (апериодическое звено первого порядка) описывается уравнением

6

то уравнение соответствующего линейного звена с запаздыванием будет иметь вид

Подобного рода уравнения называют уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями.

Введём обозначение

Уравнение (1.1.3) описывает так называемое звено чистого запаздывания. Примером звена чистого запаздывания является акустическая линия связи (τ – время распространения звука) или длинная электрическая линия (в первом приближении).

С учетом соотношения (1.1.3) уравнение (1.1.2) запишется в виде

T dx2(t)+ x2(t)= Kx1 (t), dt

то есть в виде уравнения обыкновенного линейного звена.

Точно также и в общем случае уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием можно разбить на два:

A(s)x2 (t)= B(s)x1*(t), x1*(t)= x1(t − τ).

7

Такое представление соответствует условному разбиению линейного звена с запаздыванием на два последовательно соединённых звена – обыкновенного линейного звена того же порядка с теми же коэффициентами и предшествующее ему звено чистого запаздывания (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Линейное звено с запаздыванием

Временны́е характеристики любого звена с запаздыванием, очевидно, будут такие же, как у соответствующего обыкновенного звена, но сдвинутые по оси времени вправо на величину τ. Поэтому время запаздывания можно легко определить по экспериментально полученной временно́й характеристике.

Разложим правую часть уравнения (1.1.3) в ряд Тейлора вблизи точки τ=0, предполагая, что такое разложение возможно. Получим

Из последнего выражения понятно, что передаточная функция звена чистого запаздывания равна

Впрочем, этот же результат можно получить и непосредственным применением преобразования Лапласа к правой и левой частям уравнения (1.1.3). Действительно, преобразовав по Лапласу уравнение (1.1.3) с учётом теоремы запаздывания, получим

X1 (s)= e−τs X1(s).

Из этого выражения получим передаточную функцию звена чистого запаздывания

Wч.з.(s)= X1 ((s)) = e−τs .

X1 s

Таким образом, уравнение произвольного линейного звена с запаздыванием можно записать в виде

где W0(s) – передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания.

Частотная передаточная функция получается из выражения (1.1.6) подстановкой s = jω

W (jω)= W0 (jω)e− jωτ = A0 (ω)e j[ϕ0 (ω)−τω] ,

где A0(ω) и ϕ0(ω) – амплитудно-частотная и фазовая частотная функции звена без запаздывания соответственно.

Отсюда следует правило: для построения АФЧХ любого линейного звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую её точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол τω, где ω – значение частоты в данной точке характеристики.

Так как в начале АФЧХ ω=0, а в конце ω→∞, то начальная точка характеристики остаётся неизменной, а конец асимптотически навивается на начало координат (если степень числителя B(s) меньше степени знаменателя A(s) – а для физически реализуемых звеньев это так).

Например, АФЧХ апериодического звена с запаздыванием приведена на рис. 1.2 (там же штриховой линией показана характеристика соответствующего звена без запаздывания).

Все формулы для уравнений и передаточных функций систем остаются в силе и для систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (1.1.6). Например, для

10