Материал: 6251

Определить выход системы при известном входном сигнале можно путём непосредственного решения дифференциального уравнения вида (1.2.1), (1.2.2) или (1.2.3).

Всегда возможно найти аналитическое решение уравнения первого порядка. Для этого удобно представить уравнение в общем виде

Уравнение (1.2.4) решается путём введения, так называемого интегрирующего множителя S(t)= e∫a1(t)dt . Умножив на этот интегрирующий множитель обе части уравнения (1.2.4), получим

S(t)dy(t) + S(t)a1(t)y(t)= S(t)f (t).

dt

Нетрудно заметить, что левая часть последнего выражения представляет собой производную по времени от произведения y(t) S(t), поэтому

y(t) S(t)= ∫ f (t)e∫a1(t)dtdt + c ,

где с – константа интегрирования.

Полученное решение содержит оба составляющие – частное решение неоднородного уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения. Можно показать, что при вычислении интегрирующего

множителя S(t)= e∫a1(t)dt нет необходимости записывать постоянную ин-

тегрирования: учёт этой константы не приведёт к более общему виду окончательного решения.

В некоторых случаях при решении уравнений первого порядка возможно и использование более простого метода разделения переменных, но метод интегрирующего множителя применим во всех случаях, и является универсальным.

Пример 1.2.1. Найти решение уравнения

dy − ty = t . dt

Вычислим интегрирующий множитель

t2

S(t)= e∫(−t)dt = e− 2 .

Воспользовавшись формулой (1.2.5), получим

22

Для уравнений более высокого порядка получить аналитическое решение в общем случае не представляется возможным. Разберём почему. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами

a0 dny(t)+a1 dn−1y(t)+...+a y(t)= 0 dtn dtn−1 n

представлялось в форме est , где s – предполагается константой. В таком случае мы приходим к характеристическому уравнению

a0sn +a1sn−1 +...+an = 0 .

Но в случае нестационарных систем коэффициенты ai являются функциями времени, поэтому и корни соответствующего характеристического уравнения не являются константами, а также зависят от времени вопреки предположению. Это противоречие не позволяет записать решение нестационарного уравнения в виде ept .

Примером решаемого уравнения является уравнение Эйлера

a0 (b + ct)n sn y + a1(b + ct)n−1 sn−1 y + ... + an−1(b + ct)sy + an y = 0 ,

где ai, b, c – константы.

Уравнение Эйлера путём подстановки (b + ct)= ez или z = ln(b + ct) приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.

Пример 1.2.2. Требуется найти общее решение однородного уравнения

23

Сделаем подстановку ez = t, z = lnt . Продифференцировав, получим

ezdz = dt , откуда dz = e−z . dt

Найдем

Запишем выражение для второй производной

Подставляя найденные производные (1.2.7), (1.2.8) в исходное уравнение (1.2.6), получим

d22y + y = 0 . dz

Решение этого уравнения очевидно

y= C1 cos z + C2 sin z = C1(lnt)+ C2(lnt).

Вслучае если коэффициенты ai в уравнении(1.2.1) являются полиномами t, решение получается в виде бесконечного ряда. Подобными примерами являются уравнения Бесселя и Лежандра.

24

Частное решение может быть найдено методом вариации параметров [1]. Этот метод пригоден как для уравнений с постоянными параметрами, так и для нестационарных уравнений. Но в этом случае предварительно должно быть найдено общее решение соответствующего однородного уравнения.

Если точное аналитическое решение получить не представляется возможным, применяют различные приближённые методы.

Достаточно распространённым методом является метод последовательных приближений, который особенно эффективен в случае так называемых квазистационарных систем, в которых изменение параметров происходит медленно (по сравнению с переходными процессами). Зафиксируем время в уравнении (1.2.3) t=v и представим коэффициенты в левой части уравнения в виде двух составляющих – постоянной ai (v) и переменной ai (t − v):

ai (t)= ai (v)+ ai (t − v).

Таким образом, весь оператор в правой части также можно записать в виде подобных двух составляющих A(p,t)= A(p,v)+ A (p,t − v), а уравнение (1.2.3) будет иметь вид

Решение полученного уравнения предполагается искать в виде ряда

25