Материал: 6251
Таким образом, при вычислении весовой функции можно пользоваться формулой (1.2.18) или (1.2.22) в зависимости от правой части дифференциального уравнения.
Пример 1.2.3. Получить весовую функцию для системы, описываемой дифференциальным уравнением с переменными параметрами
t |
2 d2 y |
+ 4t |
dy |
+ 2y = g . |
(1.2.23) |
||
|
dt |
2 |
dt |
||||
|
|
|
|
|
|||
Данное уравнение является уравнением Эйлера, поэтому делаем под-
становку ez = t . Тогда dt = ezdz, а dz = e−z . Вычисляем производные
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
dy |
e |
−z |
, |
d |
2 y |
= |
d |
2 y |
e |
−2z |
− |
dy |
e |
−z |
. |
dt |
dz |
|
dt2 |
dz2 |
|
dz |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя найденные производные в уравнение (1.2.23), получим соответствующее однородное уравнение в виде
d2 y |
+ 3 |
dy |
+ 2y = 0 . |
dz2 |
|
||
|
dz |
||
Общим решением последнего уравнения будет yо (z)= C1e−z + C2e−2z
или, переходя к старой переменной t
yо (t)= Ct1 + Ct22 .
36
Таким образом, |
y |
= 1, y |
|
= |
|
1 |
|
. Вронскиан согласно (1.2.19) равен |
|||||||||||||||||||
|
t2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
V (v) |
= |
|
|
v |
|
|
v2 |
|
|
= − |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
1 |
− |
2 |
|
|
|
v |
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
v |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно (1.2.20) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
vt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∑ yi (t)Vni (v)= (−1) |
|
t |
|
|
|
t2 |
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как B(p,t)=1, пользуемся формулами (1.2.18) и (1.2.16)
w(t − v,v)= |
1 |
(− v |
4 ) |
v − t |
= |
t − v |
, при v ≤ t . |
|||||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
v |
|
|
t |
2 |
v |
2 |
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 . 2 . 3 . Преобразо вание Лапласа и нестацио нар ные системы
Одно из основных применений преобразования Лапласа для систем с постоянными параметрами заключалось в возможности перехода от дифференциальных уравнений относительно функций времени к алгебраическим уравнениям относительно соответствующих изображений по Лапласу. Вообще говоря, любое дифференциальное уравнение можно почленно преобразовать по Лапласу, но алгебраические уравнения получаются только в том случае, если коэффициенты уравнения посто-
37
янны. В случае переменных коэффициентов мы приходим к другому дифференциальному или интегральному уравнению. При решении однородных уравнений, коэффициенты которых являются полиномами t, полезно пользоваться свойством дифференцирования изображения
L{tn f (t)}= (−1)n d nF(s) . dsn
Пример 1.2.4. Найти решение дифференциального уравнения
t |
d2 y |
+ |
dy |
− (t −1)y = 0 |
dt2 |
|
|||
|
|
dt |
||
(1.2.24)
(1.2.25)
с начальным условием y(+0)=1.
Применим к уравнению (1.2.25) преобразование Лапласа с учётом свойства (1.2.24)
− d [s2Y(p)− sy(+ 0)− yɺ(+ 0)]+ sY(s)− y(+ 0)+ dY(s) + Y(s)= 0 .
ds |
ds |
Упрощая левую часть, получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно Y(s)
(s +1)dY(s) + Y(s)= 0 .
ds
Решить это уравнение можно либо разделением переменных, либо методом интегрирующего множителя. Действительно, разделяя переменные, получим
38
|
|
|
|
dY (s) |
|
ds |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (s) |
s + 1 |
|
||||||
Интегрируя, имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lnY(s)= −ln(s +1)+ lnC = ln |
C |
|
, |
||||||
|
|
|
s +1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда Y(s)= |
C |
|
. Переходя к оригиналу, получим y(t)= Ce−t . Учиты- |
|||||||||
s +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вая начальное условие y(+0)=1, постоянная интегрирования C=1, следовательно y(t)= e−t .
Вобщем случае использование свойства (1.2.24) даёт дифференциальное уравнение относительно Y(s) порядка равного высшей степени полинома от t. Следует заметить, что получившееся уравнение часто нелегко решить: приведённый пример скорее исключение.
Каждый член уравнения с переменными коэффициентами – это произведение известной и неизвестной функции времени. Для вычисления преобразования Лапласа от такого члена можно воспользоваться теоремой о свёртке в области изображений. В итоге получится сложное интегральное уравнение относительно Y(s). Поскольку результирующее уравнение редко оказывается проще, чем исходное, то непосредственное применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами малоперспективно в плане получения решения такого уравнения.
Втех случаях, когда преобразование Лапласа неприемлемо, можно попытаться поискать какое-либо другое эффективное интегральное пре-
39
образование. Для определённых специальных случаев подобные преобразования разработаны. Наиболее известные из них преобразование Меллина и Ханкеля.
1 . 2 . 4 . Пар ам етр ическая передаточная функция
Второе применение преобразования Лапласа – это введение понятия передаточной функции, которую можно определить по аналогии со стационарными системами как преобразование Лапласа от весовой функции.
Рассмотрим поведение системы при экспоненциальном входном сигнале
g(t)= est , |
(1.2.26) |
где s – в общем случае комплексная величина, а −∞ < t < ∞ . Известно, что реакция системы с постоянными параметрами на такой входной сигнал есть
y(t)= W(s)est , |
(1.2.27) |
где W(s) – передаточная функция системы.
Применив интеграл (1.2.14), найдём реакцию нестационарной системы на входной сигнал (1.2.26). При этом учтём, что сигнал существует
все время −∞ < t < ∞ , поэтому верхний предел будет +∞
y(t)= ∞∫w(θ,t − θ)es(t−θ)d θ = est |
∞∫w(θ,t − θ)e−sθd θ . |
(1.2.28) |
0 |
0 |
|
40