Материал: 6251
Сравнивая выражения (1.2.27) и (1.2.28) можно определить параметрическую передаточную функцию нестационарной системы как преобразование Лапласа сопряжённой весовой функции
W(s,t)= L{w(θ,t − θ)} = ∞∫w(θ,t − θ)e−sθdθ . |
(1.2.29) |
0 |
|
Формула (1.2.29) может быть использована для получения передаточной функции, если предварительно получена весовая функция.
Пример 1.2.5. Получить передаточную функцию системы, описываемой уравнением
t |
2 d2 y |
+ 4t |
dy |
+ 2y = g . |
||
|
dt |
2 |
dt |
|||
|
|
|
|
|||
Весовая функция для такой системы была найдена в примере 1.2.3
w(t − v,v)= |
t − v |
при v ≤ t . |
|
|
|||
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
Как функция реверс-смещения она имеет вид
w(θ,t − θ)= |
θ |
при θ ≥ 0 . |
||
t |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
Тогда параметрическая передаточная функция будет являться преобразованием Лапласа сопряжённой весовой функции по переменной θ
41
W(s,t)= |
1 |
L{θ} = |
|
1 |
|
. |
(1.2.30) |
|||
t |
2 |
t |
2 |
s |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
С учётом обозначения (1.2.29) реакция системы на экспоненциальный сигнал будет равна
y(t)= W(s,t) est . |
(1.2.31) |
Дифференциальное уравнение системы (1.2.2) при входном сигнале (1.2.26) и выходном сигнале (1.2.31) будет иметь вид
A(p,t)(W(s,t)est )= B(p,t)est , |
(1.2.32) |
где p = d – оператор дифференцирования, s – комплексная величина. dt
Уравнение (1.2.32) является дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами и может служить для нахождения параметрической передаточной функции. Порядок этого уравнения тот же, что и уравнения для определения весовой функции, но его решение в некоторых случаях может оказаться проще. Поскольку входной сигнал g(t) существует всё время −∞ < t < ∞ , то W(s,t) определяет только частное решение (вынужденную составляющую) уравнения (1.2.32).
Уравнение (1.2.32) можно упростить ввиду простоты дифференцирования экспоненты. Типичный член в правой части равен
bm−k (t)pkest = bm−k (t) dkk est = bm−k (t)skest ,
dt
42
поэтому
B(p,t)est = est B(s,t), |
(1.2.33) |
где B(s,t) уже не оператор, а функция s и t.
Типичный член в левой части уравнения (1.2.32) равен
an−k (t)pk [W(s,t)est ]= an−k (t) dkk [W(s,t)est ]. dt
В квадратных скобках произведение двух функций времени. Производная k-го порядка от произведения двух функций f и g вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
dk |
|
|
|
k |
k |
dk− j f |
d j g |
k k |
||||||
|
|
pk (f g) |
= |
|
|
|
(f g)= ∑ |
|
|
|
|
|
|
= ∑ pk− j f p j g , |
|||||
|
|
|
dt |
k |
dt |
k− j |
dt |
j |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 j |
|
|
|
|
j=0 j |
|||||
где |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– биномиальные коэффициенты, фигурирующие в формуле би- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нома Ньютона |
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(a + b)k = ∑ |
|
j |
ak− jb j . Полагая, что первая функция – |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W(s,t), а вторая – est, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
pk (W (s,t)est )= ∑ |
j |
pk− jW(s,t) s j est = est (p + s)kW(s,t). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, левая часть уравнения (1.2.32) примет вид
43
A(p,t)(W(s,t)est )= est A(p + s,t)W(s,t). |
(1.2.34) |
Окончательно с учётом выражений (1.2.33) и (1.2.34) из уравнения (1.2.32) получим уравнение относительно параметрической передаточной функции W(s,t)
A(p + s,t)W(s,t)= B(s,t), где p = |
d |
. |
(1.2.35) |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
Уравнение (1.2.35) можно представить и в другом виде |
||||||||||||||||||||
A(s,t)W(s,t)+ |
dA(s,t) |
|
dW(s,t) |
+ |
1 |
|
d2 A(s,t) |
|
d2W(s,t) |
+...+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
ds2 |
|
||||||||||
|
|
ds |
dt |
|
|
|
dt2 |
(1.2.36) |
||||||||||||
|
|
1 |
|
dn A(s,t) |
|
dnW(s,t) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
|
|
= B(s,t). |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n! dsn |
|
|
dtn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если не удаётся найти точное решение уравнения (1.2.35) или (1.2.36) (а чаще всего так и бывает), то возможно применение численных методов или метода последовательных приближений. Рассмотрим этот метод более подробно. Введём для краткости в уравнении (1.2.36) обозначение
dA(s,t) |
|
dW(s,t) |
|
1 dn A(s,t) |
|
dnW(s,t) |
||||||||
F[W(s,t)]= − |
|
|
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
ds |
dt |
n! |
dsn |
dtn |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение (1.2.36) примет вид
A(s,t)W(s,t)= B(s,t)+ F[W(s,t)]. |
(1.2.37) |
Решение уравнения (1.2.37) ищем в виде ряда
44
W(s,t)=W0(s,t)+W1(s,t)+W2(s,t)+.... |
(1.2.38) |
Для определения нулевого приближения W0(s,t) полагаем в (1.2.37)
F[W (s,t)]= 0 . Получим W (s,t)= |
B(s,t) |
. Подставляя найденное нулевое |
|
A(s,t) |
|||
0 |
|
||
|
|
приближение в правую часть уравнения (1.2.37) и ограничиваясь в левой части двумя слагаемыми ряда (1.2.38), получим уравнение относительно первого приближения
W1(s,t)= − F[W(0(,s,)t)] .
A s t
Продолжая процедуру, для k-го приближения получаем рекуррентное соотношение
Wk (s,t)= − F[WAk(−s1,(ts),t)].
Ряд (1.2.38) сходится тем быстрее, чем медленнее меняются коэффициенты уравнения (1.2.34) ai(t) и bi(t).
Зная параметрическую передаточную функцию можно, как и в случае систем с постоянными параметрами, найти реакцию системы на произвольное воздействие. Действительно, реакция системы на произвольный входной сигнал g(t), согласно выражению (1.2.13) равна
y(t)= ∞∫w(t − v,v)g(v)dv .
0
45