Материал: 6251

Дано.

1.Система дифференциальных уравнений (4.2.1).

2.Начальные значения (4.2.2).

3.Конечные значения (4.2.4).

4.Критерий

Необходимо среди всех функций u(t), удовлетворяющих уравнениям (4.2.1) с начальными (4.2.2) и конечными (4.2.4) условиями выбрать функцию u(t), минимизирующую критерий (4.2.6).

Процедуру нахождения функции u(t) называют вариационным методом. Если интерпретировать x(t) как вектор состояния объекта (процесса), а под u(t) понимать вектор управления, то оптимальное управление по

минимуму интеграла сводится к задаче Лагранжа. Оптимальное управление конечным состоянием и управление с максимальным быстродействием – это задача Майера. К задаче Больца сводится управление по минимуму интеграла с ограничениями на конечное состояние или управление по минимуму времени перехода в заключительное состояние при ограничении на величину интеграла.

Из формулировок задач следует, что задача Больца – наиболее общая формулировка задачи вариационного исчисления. Однако всегда можно ввести некоторые дополнительные переменные, с помощью которых можно задачу Лагранжа свести к задаче Больца или к задаче Майера и наоборот.

211

Хотя существует много проблем оптимального управления, которые на первый взгляд не относятся ни к одной из трёх перечисленных задач, всегда можно прибегнуть к тому или иному математическому приёму, позволяющему первоначальную задачу преобразовать к одной из сформулированных выше.

Пример 4.2.1. Задача с производными высокого порядка. Пусть требуется минимизировать критерий

при заданных начальных условиях на переменные x и xɺ .

Поскольку в подынтегральном выражении (4.2.7) имеется вторая производная, то ясно, что эта задача не относится непосредственно ни к одной из задач вариационного исчисления. Но путём введения дополнительной переменной y (размерность пространства состояний при этом, разумеется, увеличивается на единицу) исходную задачу можно свести к задаче Лагранжа. Действительно, обозначим xɺ = y .

Тогда критерий (4.2.7) перепишется в виде

I = t∫f F(x, y, yɺ,t)dt ,

t0

а это уже непосредственно задача Лагранжа.

Пример 4.2.2. Переход от задачи Лагранжа к задаче Майера. Пусть требуется минимизировать критерий

212

Конечные значения для x заданы.

Выражение (4.2.8) совпадёт с выражением (4.2.3), если обозначить xɺ = u . Эту задачу Лагранжа можно преобразовать к задаче Майера, если ввести дополнительную (n+1-ю) вспомогательную переменную, задав её уравнением

xɺn+1(t)= F(x,xɺ,t).

Тогда критерий оптимальности примет вид

а это уже задача Майера.

Пример 4.2.3. Задача с ограничениями в виде неравенств. В данной задаче требуется минимизировать критерий

I = t∫f F(x, xɺ,t)dt

t0

при заданных конечных значениях x в предположении, что на величину xɺ наложено ограничение в виде неравенства

a ≤ xɺ ≤ b .

213

Вводя новую вспомогательную вещественную переменную y, можно заданное неравенство заменить уравнением

ϕ(xɺ, y)= (xɺ− a)(b − xɺ)− y2 = 0 .

4 . 2 . 2 . Миним изация интегрально го кр итер ия

Поскольку любая задача вариационного исчисления может быть приведена к задаче Лагранжа, рассмотрим задачу минимизации интеграла

где F – непрерывная функция своих аргументов, а x(t) – дважды дифференцируемая функция времени.

Начальная x(t0) и конечная x(tf) точки могут быть зафиксированы или подвижны.

Случай закреплённых конечных точек. Зафиксируем начальное и конечное значение функции x(t):

Найдём функцию x(t), доставляющую минимум интеграла (4.2.9). Геометрическая иллюстрация этой задачи заключается в том, чтобы

найти кривую, соединяющую точки (t0, x0 )и (tf , xf ), вдоль которой интеграл от функции F(x, xɺ,t) был бы минимальным (рис. 4.1).

214

x(t)

x(t)

Рис. 4.1. Задача с закреплёнными конечными точками

Обозначим оптимальную траекторию через x(t), а некоторую близкую к ней – через x(t). Разность между x(t) и x(t) называется вариацией функции x(t)

x(t)− x(t)= δ x .

Вариацию можно представить себе как некоторый малый параметр ε, умноженный на функцию η(t) из того же класса функций, что и x(t). Поскольку точки начала и конца траекторий x(t) и x(t) совпадают, граничные условия для функции η(t) нулевые

Таким образом,