Материал: 6251

−равномерно оптимальные (наилучшие в каждом отдельном случае, то есть при каждом проведённом эксперименте),

−статистически оптимальные (наилучшие в среднем, то есть при усреднении многих экспериментов),

−минимаксно оптимальные (системы, дающие наилучший результат

внаихудших условиях).

По сравнению с менее строгими методами проектирования замкнутых САУ особенности теории оптимизации состоят в следующем.

1.Процедура проектирования является более чёткой, так как включает в едином показателе проектирования все существенные аспекты качества.

2.Очевидно, что проектировщик может ожидать получения наилучшего результата только в соответствии с выбранным показателем качества. Поэтому для каждой задачи указывается область ограничений.

3.Часто можно обнаружить несовместимость ряда требований качества.

4.Получающаяся в результате проектирования система управления будет адаптивной, если в процессе работы показатель качества меняется, и попутно снова вычисляются параметры регулятора.

5.Работа с нестационарными оптимальными процессами не вносит каких-либо дополнительных трудностей.

6.Непосредственно рассматриваются и нелинейные объекты управления, правда, при этом возрастает сложность вычислений.

Основные этапы построения оптимальных систем состоят в следующем.

206

1.Построение математических моделей физических процессов, подлежащих управлению, а также критериев качества.

2.Вычисление оптимальных управляющих воздействий.

3.Синтез регулятора, реализующего оптимальное управление. Теория оптимизации продолжает интенсивно развиваться, пытаясь

преодолеть трудности, присущие этой теории. Перечислим их.

1.Формирование значимого на языке математике критерия качества из различных требований проектирования – непростая задача. Часто на этом пути применяется метод проб и ошибок.

2.Результирующий критерий качества системы часто является очень чувствительным к различного рода ошибочным предположениям и (или) к изменениям параметров регулируемого процесса.

3.Существующие в настоящее время алгоритмы управления в случае нелинейных систем требует сложных программ вычислений и, часто, большого количества машинного времени.

4.Хорошо работающие методы проектирования регуляторов, разработанные для малых областей фазового пространства (вблизи траекторий, соответствующих номинальным режимам), сразу же оказываются неприемлемыми применительно к большим областям фазового пространства в случае нели-

нейных систем.

Основные методы, используемые в теории оптимизации, это:

−классическое вариационное исчисление,

−принцип максимума Понтрягина,

−динамическое программирование Беллмана,

−алгоритмы Винера-Колмогорова и Калмана-Бьюси,

207

−функциональный анализ,

−метрический анализ.

4.2. Вариационное исчисление в оптимальных системах

4 . 2 . 1 . Постано вка задач вариацио нно го исчисления

Вариационное исчисление – это раздел математического анализа, связанный с проблемой оптимизации при условиях более общего характера, чем те, которые рассматриваются в обычной теории нахождения максимума или минимума некоторой функции. Вариационное исчисление имеет дело с максимумом или минимумом функционалов, когда требуется определить не одно значение функции, а целую функцию.

Функционал – это переменная величина, зависящая от некоторой функции, например, функционалом является Q:

Q = T∫G(u(t), y(t))dt.

0

При этом каждой функции G, взятой из некоторого класса функций, соответствует определённое значение функционала Q.

Вариационное исчисление разработано более 150 лет назад известным русским математиком Эйлером и находит применение во многих областях науки и техники, среди которых – теория управления, классическая механика, электромагнетизм, гидродинамика, оптика, аэродинамика и т.д.

В вариационном исчислении тремя основными проблемами традиционно считаются:

− задача Лагранжа,

208

−задача Майера,

−задача Больца.

Задача Лагранжа с одной независимой переменной связана с определением функции u(t), которая обеспечивает минимум интеграла от этой функции. Формализуем постановку задачи.

Дано.

1.Система дифференциальных уравнений

2.Система начальных условий

где функция F предполагается непрерывной по своим аргументам. Необходимо найти функцию u(t), доставляющую минимум функцио-

нала (4.2.3) среди всех функций u(t), удовлетворяющих уравнениям (4.2.1) с начальными условиями (4.2.2).

Задача Майера заключается в определении функции u(t), минимизирующей известную функцию, вычисляемую в конечной точке и содер-

209

жащую некоторые переменные, конечные значения которых заранее не заданы.

Дано.

1.Система дифференциальных уравнений (4.2.1).

2.Начальные условия (4.2.2).

3.Конечные условия

при этом tf заранее не известно.

4.Критерий оптимальности

Необходимо из всех функций u(t), удовлетворяющих уравнениям (4.2.1) с начальными (4.2.2) и конечными (4.2.4) условиями найти функцию u(t), минимизирующую критерий (4.2.5).

В частном случае, когда критерий оптимальности имеет вид

I = G(x,u,t) tt0f = t tt0f = tf − t0 ,

задача Майера сводится к переходу от заданного начального состояния к желаемому конечному за минимальное время.

Задача Больца связана с определением функции u(t), минимизирующей сумму, состоящую из интеграла от некоторой функции и функции, вычисляемой в конечной точке, при этом конечные значения некоторых переменных этой функции могут быть заранее не заданы.

210