Материал: 6251

Для спектральной плотности центрированной составляющей x справедливо уравнение

Дисперсию сигнала x найдем из последнего выражения по формуле (3.2.16) с учетом того, что дисперсия центрированного процесса равна среднему квадрату

Таким образом, получили два уравнения – (3.3.17) и (3.3.18) относительно четырёх неизвестных: kc0, kc2, mx и σx. Остальные два уравнения для определения этих неизвестных – это уравнения, полученные в результате статистической линеаризации, заданные формулами (3.3.12), (3.3.13) или (3.3.15) в зависимости от применяемого критерия. Решать совместно эти нелинейные уравнения можно методом последовательных приближений или графически. В результате решения получаем значения коэффициентов статистической линеаризации kc0, kc1, среднее значение mx и среднеквадратичное отклонение σx.

201

Так как помеха n(t) не имеет постоянной составляющей, найденное среднее значение mx характеризует установившуюся ошибку системы, обусловленную задающим воздействием, при наличии помех.

Случайная составляющая ошибки определяется по спектральной плотности составляющей сигнала на выходе системы, связанной с помехой аналогично тому, как это сделано в выражении (3.2.13)

Дисперсию случайной ошибки найдем с помощью интеграла (3.2.16)

Средний квадрат общей ошибки, очевидно, будет равен

ε2 = mx2 + σ2y .

Из последнего выражения следует, что общая ошибка в системе при наличии детерминированного задающего воздействия и случайной помехи с нулевым среднем может быть представлена (аналогично формуле (3.2.13)) в виде суммы составляющей ошибки, обусловленной полезным сигналом, и составляющей сигнала y, обусловленной помехой.

Сделаем некоторые выводы.

1.В реальных ситуациях роль случайностей (случайных сигна-

лов, помех, случайных изменений параметров системы и проч.)

202

чрезвычайно важна.

2.Исследование стохастических процессов в САУ в большинстве случаев основано на предположении (впрочем, часто обоснованном) о стационарности и эргодичности случайных процессов.

3.Для большого класса практических задач статистической динамики САУ достаточно пользоваться математическим ожиданием и корреляционной функцией, то есть проводить исследования в рамках корреляционной теории.

4.Многие формулы, применяющиеся для исследования стохастических процессов в САУ, упрощаются при переходе в частотную область с применением спектральной плотности, являющейся Фурье-преобразованием корреляционной функции.

5.Анализ случайных ошибок в линейных САУ позволяет не только с успехом определять оптимальные в смысле статистической точности значения параметров, но и находить оптимальную передаточную функцию системы.

6.Если при рассмотрении статистической динамики линейных систем применяют усреднение по времени, то в нелинейных системах используют усреднение по реализациям.

7.Ввиду сложности точного исследования случайных процессов в нелинейных САУ широкое распространение получил метод статистической линеаризации.

8.Применение метода статистической линеаризации основано на предположении о нормальности закона распределения и о его неискажении после прохождения через нелинейное звено.

203

4. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ.

4.1.Понятие об оптимальных системах.

Слово «оптимальные» означает наилучшие в определённом смысле. С оптимальными системами мы уже сталкивались в разделе статистической динамики САУ, когда речь шла об оптимальных параметрах линейных систем и об оптимальной весовой функции линейной системы. Перейдём теперь к более подробному изучению теории оптимальности и оптимальных процессов.

Большим толчком к развитию теории и практики систем управления с обратной связью явилась вторая мировая война. Далее следует небольшой период спячки в пятидесятых годах прошлого столетия и опять бурное развитие подобных систем, связанное с нуждами автоматизации промышленности и ещё большим развитием космической, авиационной, атомной и вычислительной техники.

Проектирование современных систем управления стало очень сложным ввиду стремления управлять в широком диапазоне внешних условий, из-за нелинейных характеристик, свойственных объектам, работающим в таких условиях, а также из-за чрезвычайно высоких требований к качеству таких систем.

Теория оптимизации предлагает специалистам по системам управления способы борьбы с указанными трудностями проектирования современных систем и служит хорошим примером использования понятий линейного векторного пространства.

204

Философия теории оптимизации – построение наилучшей системы. Это, конечно, подразумевает наличие некоторого критерия или показателя качества для суждения о том, что означает «наилучшая». Выбор надлежащего показателя качества зачастую представляет отдельную (нередко непростую) задачу. Обоснование выбора того или иного критерия оптимальности связано с конкретными технико-экономическими условиями работы САУ и в теории оптимального управления не рассматривается.

Различия между этими критериями дают основания для классификации оптимальных систем по оптимизируемым показателям качества. Это системы:

−оптимальные по быстродействию,

−оптимальные по расходу ресурсов,

−оптимальные по производительности,

−с минимальными потерями от управления и т.д.

Следующий вариант классификации оптимальных систем – по характеру процессов, протекающих в системах. С этой точки зрения системы делятся на системы:

−непрерывные,

−дискретно-непрерывные,

−дискретные.

Можно проводить классификацию и по типу дифференциальных уравнений, описывающих систему: линейные, нелинейные, с распределёнными параметрами (уравнения в частных производных) и т.д.

Наконец, можно классифицировать системы по характеру критерия оптимальности. В этом случае получаем системы:

205