Материал: 6251

Из формул (3.3.5 − 3.3.7) вытекает, что преобразование вторых моментов нелинейным звеном зависит, как и в случае средних значений, от плотности вероятности сигнала на входе. В частности, для нормального

распределения, например, дисперсия на выходе зависит от дисперсии σ2x

и среднего значения mx как от параметров

Dy = σ2y = Dy (Dx ,mx )= Dy (σ2x ,mx ).

Еще более сложные вычисления предстоит выполнить, если требуется определить корреляционную функцию. Автокорреляционную функцию стационарного процесса можно найти по общей формуле (3.1.16)

Ky (τ)= M (y(t)y(t + τ))= M (ϕ(x(t))ϕ(x(t + τ)))=

пределения.

Спектральная плотность, как обычно, определится как преобразование Фурье от корреляционной функции (3.3.8) по формуле (3.1.22).

Пример 3.3.2. Найти автокорреляционную функцию и спектральную плотность нормального (гауссова) процесса, преобразованного квадратичным детектором y = x2 .

Двумерная плотность вероятности для нормального процесса равна

191

Не вдаваясь в подробности вычисления этого двойного интеграла, отметим, что результат получается весьма простым

Наличие в корреляционной функции постоянной составляющей говорит о присутствии в выражении для спектральной плотности дельтафункции.

Спектральную плотность определим по формуле (3.1.22)

∞ ∞

Sy (ω)= ∫Ky (τ)e− jωτdτ = 2πσ4xδ(ω)+ 2 ∫Kx (τ)Kx (τ)e− jωτdτ .

−∞ −∞

Второе слагаемое в последнем выражении преобразуем по теореме о свёртке в области изображений1. Окончательно получим

1 Изображение произведений оригиналов равно свёртке изображений.

192

Sy (ω)= 2πσ4xδ(ω)+ π1 ∞∫Sx (ω1)Sx (ω− ω1 )dω1 .

−∞

Значительно сложнее исследовать преобразование нелинейным звеном суммы сигнала и помехи. На этом останавливаться не будем.

3 . 3 . 2 . Статистическая линеар изация

Сложность точных решений статистических задач для нелинейных звеньев ещё больше возрастает для систем с обратной связью. Это обстоятельство заставляет применять приближенные методы исследования.

Одним из распространенных подобных методов является метод статистической линеаризации. Этот метод разработан И.Е. Казаковым и Дж. Бутоном в 1953−1954 г.г. и заключается в приближенной замене нелинейного преобразования стохастических процессов неким линейным, статистически эквивалентным преобразованием. В результате система в целом линеаризуется, и для её исследования можно применять аппарат линейной теории.

Пусть на входе нелинейного звена с характеристикой y = ϕ(x) имеется стационарный случайный процесс

x(t)= mx + x (t),

где x (t) − центрированная случайная составляющая.

Начнем с однозначной нечетной нелинейной зависимости ϕ(x). Процесс на выходе звена можно представить в виде суммы математического ожидания и центрированной случайной составляющей

193

y(t)= my + y (t).

При замене нелинейной зависимости эквивалентной линейной зависимостью следует установить критерии такой эквивалентности. В качестве подобных критериев, как правило, используют два: первый – это равенства средних значений и дисперсий эквивалентного и реального процессов и второй – минимум среднеквадратичного отклонения эквивалентного и реального процессов.

Рассмотрим первый критерий. Согласно ему должны выполняться равенства

Первое равенство (3.3.10) говорит об эквивалентности линейного звена при прохождении детерминированной составляющей входного процесса (среднего значения). Второе равенство является условием эквивалентности при прохождении центрированной случайной составляющей.

Тогда уравнение эквивалентного линейного звена можно представить в виде

Согласно уравнению (3.3.11) эквивалентная линейная зависимость может быть представлена двумя параллельными безынерционными звеньями, одно из которых (с коэффициентом передачи kс0 ) пропускает

194

только детерминированную, а другое (с коэффициентом передачи kс1 ) – центрированную случайную составляющую (рис. 3.7, а).

kc1

x (t) yэ (t)

б

Рис. 3.7.Статистическая линеаризация

Коэффициенты kс0 , kс1 можно найти из равенств (3.3.10). Из первого равенства следует, что коэффициент передачи для детерминированной составляющей (математического ожидания) равен

Из второго равенства вытекает, что коэффициент передачи случайной составляющей равен