Материал: 6251

Подставляя соотношения (4.2.12) вместо функций x(t) и xɺ(t)в интеграл (4.2.9), получим

I(ε)= t∫f F(x + εη, xɺ+ εηɺ,t)dt .

t0

Разложив подынтегральную функцию в последнем выражении в ряд Тейлора вблизи оптимальной траектории, получим

Необходимым условием экстремума критерия I является равенство нулю частной производной выражения (4.2.13) по ε, откуда следует, что

Второе слагаемое в последнем выражении интегрируем по частям

Учитывая нулевые граничные условия, налагаемые на функцию η(t) (4.2.12), первое слагаемое в выражении (4.2.15) обратится в нуль, и окончательно условие (4.2.14) преобразуется в уравнение

216

Поскольку последнее уравнение должно выполняться для произвольной функции η, нулю должно равняться выражение в квадратных скобках

Уравнение (4.2.15) известно как уравнение Эйлера-Лагранжа. Соответствующий многомерный вариант этого уравнения имеет вид

где обозначено

Уравнение Эйлера-Лагранжа является необходимым условием экстремума функционала (4.2.9), поэтому только на интегральных кривых уравнения Эйлера-Лагранжа, удовлетворяющих граничным условиям (4.2.10), может реализовываться минимум критерия I. Интегральные кривые уравнения Эйлера-Лагранжа называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие граничным условиям, определяют путём решения краевой задачи. Это решение не всегда существует, а если и суще-

217

ствует, то не всегда единственное, а если единственное, то не всегда его можно найти, то есть проинтегрировать уравнение Эйлера-Лагранжа.

Положение облегчается тем, что во многих случаях синтеза оптимальных САУ из физических или геометрических соображений довольно просто устанавливается существование решения, его единственность и то, что это решение реализует минимум критерия. Если же решений всетаки несколько, то после вычисления критерия на каждом из этих решений выбирается то из них, на котором критерий достигает наименьшей величины.

Решение уравнения Эйлера-Лагранжа в аналитическом виде возможно

вследующих случаях.

1.Функция F не зависит от xɺ , то есть является функцией только x и t: F(x,t).

2.Функция F не зависит явно от времени F = F(x, xɺ).

3.Функция F не зависит от x F = F(xɺ,t)или F = F(xɺ).

4.Функция F линейна относительно xɺ , то есть имеет, например, вид F = α(x,t)+ xɺ β(x,t).

Случай подвижных конечных точек.

Теперь рассмотрим задачу минимизации интеграла, когда конечная точка не фиксирована, а лежит на некоторой кривой. Типичный пример такого случая – задача перехвата, когда, например, самолёт-перехватчик, стартуя из заданной начальной точки, должен сблизиться с перехватываемым самолётом, летящим по определённой траектории, затратив при этом минимальное количество топлива.

218

По-прежнему, оптимальную траекторию обозначим через x(t), а близкую к ней неоптимальную – через x(t). Начальные условия для x(t) зада-

ны: x(t0 )= x0 , а конечная точка лежит на кривой с уравнением x = c(t)

а расположена на кривой x=c(t). Действуя точно так же, как и в задаче с закреплённой конечной точкой, приходим к необходимому условию экстремума интеграла (4.2.18)

219