Материал: 6251

Из первого условия, как и ранее, следует уравнение Эйлера-Лагранжа (4.2.16).

Второе слагаемое в условии (4.2.23) равно нулю, если величина ∂F

∂ xɺ t0

ограничена, поэтому равно нулю должно быть выражение в фигурных скобках соотношения (4.2.23). Отсюда следует уравнение

Соотношение (4.2.24) называется условием трансверсальности. Нелишне отметить, что уравнение (4.2.16) в начальный момент времени (то есть при t = t0 ) может и не выполняться, поскольку η(t0 )= 0 и тогда условие (4.2.22) справедливо. Важно лишь, чтобы в начальный мо-

Если речь идёт о системе регулирования, когда осуществляется переход от одного существенного режима работы к другому, то есть от одного значения x к другому значению, конечная кривая x = c(t) является горизонтальной прямой и cɺ(tf )= 0 . В этом случае условие трансверсальности (4.2.24) упрощается и принимает вид

221

Можно показать, что в случае, когда функция F явно не зависит от времени, соотношения (4.2.16) и (4.2.25) сводятся к одному, а именно:

Действительно, дифференцируя обе части последнего выражения по t как сложную функцию, после упрощения получаем

Обычно в процессе управления производная xɺ не обращается в нуль, поэтому нулю должно равняться выражение в квадратных скобках, а это левая часть уравнения Эйлера-Лагранжа (4.2.16).

Таким образом, оптимальную систему регулирования, осуществляющую переход от одного рабочего режима к другому за время (t0 ,tf ),

определяет единственное условие (4.2.26).

4 . 2 . 3 . Оптим ально е упр авление по м иним ум у интегр ально го кр итер ия

Теперь рассмотрим применение вариационного исчисления к задаче оптимального управления с интегральным критерием.

Пусть динамика объекта задана уравнением 222

где x – выход объекта, u – управляющее воздействие при заданном начальном значении

Требуется сформировать управление u(t), минимизирующее интегральный критерий

Функция F в критерии (4.2.29) может описывать отклонение от желаемого состояния, потребление энергии, стоимость САУ и т.п.

Обозначая функции, доставляющие минимум критерия (4.2.29) через x(t) и u(t), а некоторые близкие к ним – через x(t)и u(t) соответственно, можно записать

где η и ξ – в достаточной мере произвольные функции времени, определённые на интервале (t0 ,tf ), а ε – малый параметр.

Подставляя выражения (4.2.30) в критерий (4.2.29) вместо x(t) и u(t), получим

223

I(ε)= ∫f F(x + εη,u + εξ)dt .

t0

Разложив в последней формуле подынтегральную функцию в ряд Тейлора вблизи оптимальной траектории, получим

Необходимое условие экстремума функции (4.2.31) – равенство

Взяв производную по ε от правой части выражения (4.2.31) и поменяв местами порядок дифференцирования по ε и интегрирования по t, приравняем полученное выражение нулю при ε=0

Вернёмся к уравнению динамики объекта (4.2.27) и заменим x(t) и u(t) на x(t)и u(t) соответственно. Получим

xɺ(t)+ εηɺ = f (x + εηɺ,u + εξ).

224