Теперь задачу оптимизации можно сформулировать как задачу минимизации критерия (4.2.43) по управлению u при наличии ограничений (4.2.44).
С введением множителей Лагранжа сформулированная проблема сводится к минимизации критерия
I1(u)= T∫[uT (t)Hu(t)+ λT Φ−1(t)Bu(t)]dt . |
(4.2.45) |
0 |
|
Составим уравнение Эйлера-Лагранжа для критерия (4.2.45), учитывая, что выражение в квадратных скобках не зависит от производной uɺ(t):
gradu [uT (t)Hu(t)+ λT Φ−1(t)Bu(t)]= 0 .
Применяя правила дифференцирования произведения матриц, из последнего уравнения получим
(H+ HT )u(t)+ BT [Φ−1(t)]T λ = 2Hu(t)+ BT [Φ−1(t)]T λ = 0. (4.2.46)
При получении уравнения (4.2.46) учтено, что матрица H – симметрическая. Из соотношения (4.2.46) определяем вектор оптимального управления
u (t)= − |
1 |
H−1BT [Φ−1 |
(t)]T |
λ = 0 . |
(4.2.47) |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Подставим оптимальное управление (4.2.47) в ограничения (4.2.44)
231
x0 = |
1 |
T∫Φ−1(t)BH−1BT [Φ−1(t)]T dt λ = V(T )λ , |
(4.2.48) |
|
|||
|
2 0 |
|
|
где введено очевидное обозначение V(T )= 1 T∫Φ−1(t)BH−1BT [Φ−1(t)]T dt . 2 0
Если матрица V(T) не вырождена, то вектор множителей Лагранжа из соотношения (4.2.48) определится как
λ = V−1(T)x0 .
Осталось подставить найденный вектор множителей Лагранжа в выражение для оптимального управления (4.2.47)
u (t)= − 12 H−1BT [Φ−1(t)]T V−1(T ) x0 .
Подведём некоторый итог данной темы.
1.Вариационное исчисление – это раздел математики, изучающий задачи оптимизации при более общих условиях, чем те, которые рассматриваются в обычной теории определения максимума или минимума некоторой функции.
2.В вариационном исчислении рассматриваются три основные задачи – задачи Лагранжа, Майера и Больца.
3.Для преобразования задачи одного вида к какому-либо другому виду всегда можно ввести дополнительные переменные, и большинство задач оптимального управления можно свести к одной из трёх упомянутых задач:
232
а) задача управления по минимуму интеграла сводится к задаче Лагранжа,
б) задача оптимального по быстродействию управления и оптимального терминального управления можно рассматривать как задачу Майера, в) задача оптимального управления с заданными ограничениями сво-
дится к задаче Больца.
4.Оптимизация систем управления с помощью вариационного исчисления обычно приводит к двухточечной краевой задаче. Аналитическое решение двухточечных краевых задач возможно только в исключительных случаях.
5.Ввиду того, что дифференциальные уравнения ЭйлераЛагранжа обычно нелинейные, пользуются численным методом последовательного приближения. Этот метод заключается в переборе начальных условий и в численном интегрировании системы уравнений Эйлера-Лагранжа с учётом ограничений.
6.При проектировании систем оптимального управления трудность решения двухточечных краевых задач делает классическое вариационное исчисление малопригодным.
4.3. Принцип максимума Понтрягина
Принцип максимума Понтрягина является одним из эффективных методов решения проблем оптимизации. Он тесно связан с классической задачей Майера. Первоначально принцип максимума был получен Л.С.Понтрягиным с помощью классического вариационного исчисления. Однако в одном отношении он отличается от классической задачи Майе-
233
ра. В задаче Майера управляющие воздействия имеют неограниченные пределы, а у Л.С.Понтрягина управляющие воздействия могут быть элементами замкнутого множества или, другими словами, могут подчиняться некоторым ограничениям.
4 . 3 . 1 . Обо бщённая задача оптим ального упр авления
Большинство задач оптимального управления можно объединить в три основных типа задач:
1)задача управления для достижения максимального быстродействия,
2)задача управления конечным состоянием,
3)задача управления по минимуму интеграла.
Рассмотрим управление объектом n-го порядка, заданного уравнениями в векторно-матричном виде
x = f(x,u,t). |
(4.3.1) |
ɺ |
|
Здесь x и u – вектор состояния и вектор управления соответственно. В каждый момент времени управляющие воздействия должны удо-
влетворять ограничениям в виде неравенства
g(u)≤ 0 , |
(4.3.2) |
что вытекает из физических ограничений, налагаемых на систему управления.
Вектор управления, удовлетворяющий ограничениям (4.3.2), называется вектором допустимого управления.
234
Задачу управления по минимуму времени переходного процесса можно тогда сформулировать как задачу определения вектора допустимого управления u, переводящего объект из начального состояния x0 в желаемое конечное xf за минимальное время.
Задачу управления конечным состоянием можно сформулировать как задачу определения такого допустимого вектора управления u, при котором за заданный интервал времени tf − t0 одна (например, xl) или некото-
рая совокупность переменных состояния приобретает возможно большее или возможно меньшее значение. Другими словами, вектор допустимого управления доставляет максимум или минимум, например,
xl (tf |
)= F1(x0 |
,x,u,t) |
|
или ∑k |
ci xi (tf )= F2 (x0 ,x,u.t) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t f |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, k {1,2,...n}.
t f
Во многих случаях приходится сталкиваться с положением, когда отклонения выходной переменной от некоторого требуемого значения является нежелательным. Часто интересует среднее значение этого отклонения (например, это может быть прибыль или убыток) за некоторый промежуток времени. В таких случаях задача системы управления состоит в минимизации интеграла этого изменения (или какой-либо функции этого изменения) в течение заданного промежутка времени. Эту задачу оптимального управления можно сформулировать как определение вектора допустимого управления u, доставляющего минимум интеграла
I = t∫f F(x,u,t)dt .
t0
235