Материал: 6251
Перечисленные три типовые задачи можно свести к задаче оптимизации по отношению к координатам или переменным состояния объекта, называемой обобщённой задачей оптимального управления. Задачи управления по минимуму времени, конечным состоянием и по минимуму интеграла являются частными случаями задачи минимизации по отношению к одной новой дополнительной координате. Такой переход от частных задач к обобщённой задаче оптимального управления проводится с помощью процедуры инвариантного вложения или увеличения размерности вектора состояния путём добавления новой переменной состояния.
1. Управление по максимуму быстродействия. Уравнения состояния заданы системой
xi = fi (x,u,t), i =1,2,...,n . |
(4.3.3) |
ɺ |
|
Допустимое управление подчиняется ограничениям (4.3.2).
Задача состоит в переводе объекта из начального состояния x0 в желаемое конечное xf за минимальное время, то есть в обеспечении
min(tf |
t f |
− t0 )= min ∫dt . |
|
u |
u |
|
t0 |
Зададим новую переменную состояния xn+1(t) уравнением
xɺn+1(t)=1.
Интегрируя это уравнение, получим
236
xn+1(t)= ∫t dt .
t0
Так как xn+1(t)= t − t0 , то управление по минимуму переходного процесса означает оптимизацию по отношению к новой переменной в конечный момент времени tf.
2.Управление конечным состоянием.
Заданы уравнения объекта (4.3.3) и ограничения на управление (4.3.2). В общем виде задачу управления конечным состоянием можно сформулировать как задачу определения такого вектора допустимого управления u, который за данный промежуток времени t f − t0 обеспечивает минимум функционала F от вектора конечного состояния x(t f ), то есть
обеспечивает
minF(x(tf |
))= minF(x1(tf ), x2 (tf ),...xn (tf )). |
|
u |
|
u |
Введём новую |
переменную xn+1(t)= F(x(t))= F(x1(t), x2 (t),...xn (t)) с |
|
начальными условиями xn+1(t0 )= F(x(t0 )).
Для составления уравнения относительно этой новой переменной,
возьмем производную от xn+1(t)по t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xɺ |
|
(t)= |
∂F |
xɺ |
+ |
∂F |
xɺ |
|
+ ...+ |
∂F |
xɺ |
|
. |
||
n+1 |
∂ x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
∂ x |
2 |
|
2 |
|
∂ x |
n |
n |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая уравнения состояния объекта (4.3.3), последнее соотношение примет вид
237
xɺn+1 |
(t)= ∑n |
∂F |
fi (x,u,t). |
|
|||
|
i=1 |
∂x |
|
|
i |
||
Таким образом, задача управления конечным состоянием сведена к задаче минимизации новой переменной xn+1(t)в конечный момент времени tf.
3.Управление по минимуму интеграла.
Объект управления и ограничения, как и прежде, заданы уравнениями (4.3.3) и (4.3.2) соответственно.
Задача заключается в определении вектора допустимого управления, переводящего объект из начального состояния x0 в заключительное состояние xf , доставляя при этом минимум интеграла
mint∫f F(x,u,t)dt .
u t0
Введём новую переменную xn+1(t)= ∫t |
F(x,u,t)dt с начальным значе- |
t0 |
|
нием xn+1(t0 )= 0 .
Тогда уравнение для этой новой переменной имеет вид xɺn+1(t)= F(x,u,t).
Задача оптимизации по минимуму интеграла сведется тогда к задаче минимизации новой компоненты вектора состояния в конечный момент времени tf.
238
Все рассмотренные задачи можно рассматривать как частные случаи более общей задачи отыскания минимума функционала
ρ= ∑n bi xi (t f ). i=1
Таким образом, обобщённую задачу оптимального управления можно сформулировать как задачу определения из всей совокупности допустимых векторов управления, удовлетворяющих ограничениям (4.3.2), такого вектора u, который переводит объект, заданный уравнениями динамики (4.3.3), из начального состояния x0 в некоторую определённую замкнутую область пространства состояний, доставляя минимум функционала ρ. Принцип максимума Понтрягина даёт изящный способ проектирования таких систем управления.
Прочие задачи оптимального управления, такие, например, как задача оптимизации с заданным начальным и конечным состоянием, задача с заданным начальным и переменным конечным состоянием, задача с переменным временем управления, задача перехвата и т.д., являются частными случаями обобщённой задачи.
4 . 3 . 2 . Пр инцип максим ум а
Как выяснено в предыдущем подразделе, задача оптимизации может быть сформулирована как задача отыскания минимума функции
ρ = ∑n bi xi (tf )= b,x f = bT x f , (4.3.4)
i=1
подчинённой некоторым функциональным ограничениям.
239
В выражении (4.3.4) x – вектор состояния объекта, b – вектор-столбец, зависящий от координат, условия минимума которых должны быть обеспечены.1
Функция, определяемая формулой (4.3.4), носит название функции Понтрягина.
Стратегия управления, обеспечивающая минимум функции Понтрягина, называется стратегией оптимального управления. Геометрическая интерпретация стратегии оптимального управления заключается в том, чтобы вектор xf перемещался как можно дальше в направлении –b.
Определить минимум функции Понтрягина не всегда легко. Однако решение задачи оптимизации можно облегчить, если удастся найти некоторую простую функцию, тесно связанную с функцией Понтрягина и с динамикой объекта.
Интуитивно ясно, что минимум функции Понтрягина можно определить, найдя условия максимума энергии или мощности в системе. Такое предположение приводит к выводу о существовании такой функции энергии, условия максимума которой эквивалентны условиям минимума функции Понтрягина. И такая функция действительно есть! Это функция Гамильтона H, представляющая полную энергию в системе (сумма кинетической и потенциальной энергии) и равная скалярному произведению вектора количества движения на вектор скорости
H(x,p,u,t)= p,xɺ = p,f . |
(4.3.5) |
1 Вообще-то этот класс задач содержится в рамках задачи Майера в вариационном исчислении.
240