Материал: 6251

Рис. 2.17. Фазовый портрет системы при λ=1, kос=0

Проинтегрировав последнее уравнение, получим

где x0, y0 – начальные значения.

Траектории, построенные по уравнению (2.3.17), также приведены на рис. 2.17. Из сравнения уравнений (2.3.14) и (2.3.15) легко видеть, что траектории для зоны 2 и зоны 3 симметричны относительно начала координат, то есть достаточно повернуть траектории зоны 2 на 180° относительно начала координат, и мы получим траектории для зоны 3.

Состояние равновесия системы определяется соотношения-

ми dx = 0, dy = 0 . Сопоставив эти условия с уравнениями (2.3.11), прихо- dt dt

дим к выводу, что состояния равновесия системы характеризуются требованием ϕ(x)= 0 , а это справедливо при x < δ . Условиям

91

y = 0, x < δ

соответствует отрезок равновесия на оси x, показанный на рис. 2.17 жирной линией. Каждая точка этого отрезка является точкой равновесия, причём устойчивого равновесия, так как в зоне 1 все траектории идут по направлению к отрезку равновесия, а не от него.

С течением времени изображающая точка, начинаясь из произвольной точки фазовой плоскости (кроме отрезка равновесия) перемещается по фазовой плоскости. При переходе из одной зоны в другую одно из трёх линейных уравнений (2.3.13−2.3.15) сменяется другим вследствие переключения управления (срабатывания реле). Поэтому границы между зонами носят название линий переключения (на рис. 2.17 они показаны пунктиром). Из рис. 2.17 видно, что движение, начавшись из любой точки, заканчивается отрезком равновесия, то есть в системе отсутствуют автоколебания (предельного цикла нет).

Пусть теперь λ<1. Поскольку функция φ(x) по-прежнему принимает только три фиксированных значения, именно, −1, 0 и +1, характер фазовых траекторий во всех трёх зонах сохраняется, но меняются границы между зонами. Отпускание реле при уменьшении входного сигнала (то

есть при отрицательной скорости dx = y < 0 и положительной величине dt

x) происходит при ε=λδ. Это означает, что при x>0 часть линии переключения, расположенная ниже оси x, сдвинется влево (рис. 2.18).

Аналогично при x<0 верхняя часть линии переключения сдвинется

вправо.

Исследование фазового портрета системы, приведённого на рис. 2.18,

показывает, что при определённых соотношениях параметров движение 92

δ

λδ

Рис. 2.18. Фазовый портрет системы при λ<1, kос=0

системы может стать расходящимся. Отрезок равновесия также приобретает новые черты. Если точки, принадлежащие отрезку BC, являются точками обычного вида (к ним можно приблизиться как, двигаясь из верхней полуплоскости, так и из нижней), то, например, к точкам отрезка AB можно подойти только по траекториям, расположенным в нижней полуплоскости. Аналогично, к точкам отрезка CD можно подойти только по траекториям, расположенным в верхней полуплоскости.

В общем случае kос>0, следовательно, при положительном x реле будет срабатывать при входном сигнале ε=δ, но ε=x+kосy. Поэтому уравнение линии переключения при x>0, y>0 будет

Отпускать реле будет при входном сигнале ε=λδ. Следовательно, уравнение линии переключения при x>0, y<0 будет

93

При x<0 картина будет симметричная, и уравнения линий переключения будут следующие:

Фазовый портрет системы вместе с линиями переключения, построенными по уравнениям (2.3.18 – 2.3.20), приведён на рис. 2.19.

Можно показать, что при определённых условиях в системе возникнут незатухающие колебания (предельный цикл – замкнутая траектория на рис. 2.19). Точки переключения, расположенные на предельном цикле

– M0, M1, M2 и M3. Обозначив соответствующими индексами координаты этих точек, придём к выводу, что необходимым (но недостаточным) условием существования предельного цикла будет

94

Ввиду симметрии предельного цикла достаточным условием будет симметричность точек M0 и M2 (равно как и точек M1 и M3). То есть, дополнительно к неравенствам (2.3.21) должны выполняться соотношения

С одной стороны, точки M0 и M2 лежат на фазовых траекториях, а с другой – они расположены на линиях переключения, уравнения которых заданы формулами (2.3.19 – 2.3.20). Анализ выполнения соотношений (2.3.21), (2.3.22) совместно с уравнениями (2.3.19 – 2.3.20) показывает, что необходимое и достаточное условие существования предельного цикла будет [4]

Если предельный цикл в системе существует, то выполняется неравенство (2.3.23) и вся фазовая плоскость делиться на три области (рис. 2.20)

M2

Рис. 2.20. Области устойчивости и неустойчивости

95