Материал: 6251
dx1 = f1(x1, x2 ,..., xn ), dt
dx2 = f2 (x1, x2 ,..., xn ), dt
...,
dxn = fn (x1, x2 ,..., xn ). dt
Тогда производная (2.3.25) будет равна
dV |
= |
∂V |
dx1 |
+ |
∂V |
|
dx2 |
+...+ |
∂V |
|
dxn |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
∂x dt |
∂x dt |
∂x dt |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|||
n ∂V
k∑=1∂xk fk .
(2.3.26)
(2.3.27)
Правая часть выражения (2.3.27) зависит только от переменных состояния и в силу условия (2.3.25) является знакоопределённой (в нашем случае отрицательно-определённой) функцией.
Таким образом, можно сформулировать следующее условие устойчивости нелинейной системы: для асимптотической устойчивости возмущённого движения достаточно существования такой знакоопределённой функции, полная производная которой по времени, вычисленная на основе дифференциальных уравнений системы, также является знакоопределённой, но противоположного знака.
Если производная dV обращается в нуль не только в начале коорди- dt
нат, но и в каких-то других точках, например, на сфере С1 (рис. 2.23), то соответственно получаем более слабое условие устойчивости, а именно, неасимптотическую устойчивость. В этом случае изображающая точка
101
может остаться на сфере С1, не дойдя до начала координат (пунктирная линия на рис. 2.23).
Собственно, второй метод Ляпунова и заключается в отыскании такой функции, которая бы удовлетворяла сформулированному выше условию устойчивости. Такие функции и назвали функциями Ляпунова.
Как уже было отмечено выше, для определения знака производной вовсе не требуется решать дифференциальные уравнения системы. Это, конечно, плюс. Минусом же является то, что не существует общего правила для нахождения функции Ляпунова для любых нелинейных систем. Часто отыскание функции Ляпунова требует определённого искусства и математической интуиции.
Много для развития прямого метода Ляпунова сделал А.И. Лурье, указавший общий метод выбора функций Ляпунова для целого класса нелинейных систем.
Сам Ляпунов предложил для линейных (линеаризованных) систем
производную dV задавать в виде суммы квадратов переменных состоя- dt
ния с обратным знаком
dV |
n |
|
|
= −∑ xk2 = U0 , |
(2.3.28) |
||
dt |
|||
k =1 |
|
а функцию V – в виде квадратичной формы
V = xT Bx , |
(2.3.29) |
где xT = (x1, x2,..., xn ) – вектор состояния, B – симметрическая матрица
квадратичной формы. 102
Элементы матрицы B можно найти, взяв производную по времени от выражения (2.3.29) с учетом линеаризованных уравнений состояния и приравняв полученное выражение к правой части формулы (2.3.28).
Пример 2.3.2 [5]. Динамика системы задана уравнениями состояния
dx1 |
|
= −(x |
|
− βx |
2 |
)(1 |
− ax2 |
− bx |
2 ), |
|
|
||||||||
dt |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
= −(x |
2 |
+ αx )(1− ax2 |
− bx2 ), |
|||||
|
|||||||||
dt |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α, β, a и b – положительные коэффициенты. Выберем функцию V в виде
V = αx2 |
+ βx |
2 . |
(2.3.31) |
1 |
|
2 |
|
Возьмем производную по времени
dV |
= 2αx |
dx1 |
+ 2βx |
2 |
dx2 |
. |
|
|
|
||||
dt |
1 |
|
dt |
|||
|
dt |
|
|
|||
Подставив в последнее выражение правые части уравнений (2.3.30), получим
dV = −2(1− ax12 − bx22 )(αx12 + βx22 ). dt
Понятно, что dV
dt < 0 при выполнении неравенства
103
ax2 |
+ bx2 |
<1. |
(2.3.32) |
1 |
2 |
|
|
Таким образом, при выполнении неравенства (2.3.32) функция (2.3.31) является функцией Ляпунова, а этого достаточно для того, чтобы движение системы (2.3.30) была асимптотически устойчивым внутри эллипса
ax2 |
+ bx2 |
=1. |
(2.3.33) |
1 |
2 |
|
|
Сам же эллипс (2.3.33) является границей устойчивости, а в плоскости состояний представляет собой неустойчивый предельный цикл.
Следует ещё раз подчеркнуть, что второй метод Ляпунова даёт только достаточные условия устойчивости. Следовательно, определив какуюлибо функцию Ляпунова, мы найдём только ту область фазового пространства, где система точно устойчива, но вне этой области сказать об устойчивости уже ничего нельзя. То есть мы определяем только часть общей области устойчивости. Величина этой части зависит от того, насколько удачно выбрана функция Ляпунова.
2 . 3 . 7 . Часто тный кр итер ий абсо лютно й усто йчиво сти В . М . По по ва
Во многих случаях нелинейную систему можно представить соединением линейной части и нелинейного звена в обратной связи (рис. 2.24, а).
Рассматриваемый критерий касается статических нелинейностей, характеристики которых располагаются в первом и третьем квадрантах между осью абсцисс и прямой kx (рис. 2,.24, б), то есть нелинейность задана 104
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(x) kx |
||||||
− |
W(s) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
φ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
б |
||||||
|
|
Рис. 2.24. Нелинейная система |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
неравенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < ϕ(x)x < kx2, (x ≠ 0).1 |
(2.3.24) |
||||||||||||
Сами нелинейные характеристики могут иметь любой вид, поэтому, по сути, рассматривается не конкретная нелинейная характеристика, а целый класс нелинейностей, удовлетворяющих условию (2.3.24). Асимптотическая устойчивость в целом для некоторого класса нелинейностей называется абсолютной устойчивостью.
В 1949 г. М.А. Айзерман предположил, что если будут асимптотически устойчивы все линейные системы, в которых нелинейность заменена на линейную зависимость ϕ(x)= ax и 0 < a < k (то есть линейная зависимость лежит в секторе (0,k)), то будет устойчива и любая нелинейная система, в которой нелинейность удовлетворяет условию (2.3.24). Это предположение известно под названием гипотезы или проблемы Айзермана. Позднее гипотеза Айзермана была доказана для систем второго порядка (исключая асимптотическое приближение нелинейности к краям луча), но для систем более высокого порядка были придуманы примеры, противоречащие этой гипотезе.
1 В таком случае говорят, что нелинейность задана в секторе (0, k).
105