Материал: 6251

Поэтому практически в линейных системах (если они не являются строго консервативными) особых точек типа центр, а, следовательно, и замкнутых траекторий не наблюдается.

К устойчивым особым точкам сходятся все фазовые траектории, начавшиеся из любой начальной точки. То есть эти особые точки как бы притягивают к себе все решения уравнений динамики. Вообще, зоны притяжения решений дифференциальных уравнений называются аттракторами. Следовательно, устойчивые особые точки являются частным видом аттракторов.

2 . 3 . 3 . Мето д фазо во й плоско сти

Возможность наглядно проследить поведение системы при различных начальных условиях и различных внешних воздействиях делает фазовую плоскость весьма привлекательным инструментом исследования систем второго порядка. Достоинством метода фазовой плоскости является также то, что для построения фазовых траекторий часто нет необходимости решать дифференциальное уравнение (2.3.2), описывающее эти траектории. Такое построение осуществляется так называемым методом изоклин. Рассмотрим на фазовой плоскости линии, соответствующие алгебраическому уравнению

R(x, y)= C ,

где С – константа, для которой задан ряд значений от −∞ до +∞.

На фазовой плоскости получаем семейство линий, каждой из которых соответствует своё значение С. Эти линии называются изоклинами.

82

Разные типы движений системы в непосредственной окрестности особых точек были рассмотрены выше. Вблизи обыкновенной точки характер движения полностью определяется фазовой траекторией, проходящей через эту точку.

Через обыкновенную точку проходит только одна фазовая траектория,

имеющая наклон dx2 = Q (ср. (2.3.2)). Поэтому отрезок траектории dx1 P

вблизи этой точки можно изобразить в виде отрезка прямой, направленной под упомянутым углом к оси абсцисс. Отрезки фазовых траекторий в окрестности (достаточно малой) обыкновенной точки будут в первом приближении также изображаться отрезками прямых, имеющих тот же наклон, что и наклон отрезка траектории, проходящей через эту точку. Таким образом, движение системы в окрестности обыкновенной точки на фазовой плоскости можно изобразить пучком параллельных отрезков.

Изучение динамики системы, как правило, не ограничивается определением характера движения в окрестностях особых или обыкновенных точек. В большинстве случаев требуется знать характер фазовых траекторий на всей фазовой плоскости или, как говорят, нужен фазовый портрет системы. При этом большое значение приобретает изучение особых траекторий.

Принято выделять три типа особых траекторий.

1.Особые точки, которые являются вырожденным случаем траектории.

2.Предельные циклы, представляющие собой замкнутые изолированные траектории.

3.Сепаратрисы – траектории, разделяющие области с качественно разным характером динамики системы.

83

Особые точки были разобраны выше.

С замкнутыми траекториями мы уже сталкивались, когда речь шла о точке равновесия «центр». Но там рассматривалась консервативная линейная система. И соседние траектории с любой замкнутой там также были замкнутые. Поэтому не было никаких оснований выделять какуюлибо замкнутую траекторию и называть её особой.

В неконсервативных нелинейных же системах замкнутые траектории играют принципиально другую роль. Можно строго доказать, что в таких системах имеются только изолированные замкнутые траектории, так что любая соседняя с ней уже не является замкнутой. Наличие в фазовом портрете системы предельного цикла говорит о возможном существовании в системе автоколебаний, то есть незатухающих колебаний с определенной амплитудой и частотой.

Например, можно представить себе неустойчивую линейную систему, в которой для обеспечения её устойчивости применено в обратной связи нелинейное звено с зоной нечувствительности. При малой величине выходного сигнала корректирующее звено «не работает» и в системе возникают расходящиеся колебания. Если выходной сигнал превышает зону нечувствительности, корректирующее звено делает систему устойчивой и колебания затухают. Таким образом, в системе устанавливаются незатухающие колебания с амплитудой, определяемой зоной нечувствительности корректирующего звена.

Предельные циклы бывают устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми.

Устойчивый предельный цикл будет существовать в приведённом выше примере, когда фазовые траектории приближаются к предельному циклу, начинаясь как изнутри, так и снаружи последнего (траектории 84

притягиваются к предельному циклу с обеих сторон – рис. 2.14, а). Таким образом, устойчивый предельный цикл также является одним из видов аттракторов.

Внеустойчивом предельном цикле любое отклонение от него в ту или другую сторону приводит к удалению от предельного цикла (траектории «разматываются» с предельного цикла как с одной, так и с другой стороны – рис. 2.14,б – цикл 1).

Вполуустойчивом цикле траектории с одной стороны «наматываются», а с другой стороны «разматываются» (рис. 2.14, в, г).

Рис. 2. 14. Предельные циклы

Системы с фазовым портретом, изображённым на рис. 2.14, а, называются системами с мягким режимом возбуждения колебаний. В таких системах после их включения устанавливаются автоколебания независимо от начальных условий или внешних воздействий.

85