Материал: 6251

где ω = p − h2 , а C1,C2,ϕ1,ϕ2 – константы, определяемые начальными

условиями.

Поделив второе из уравнений (2.3.8) на первое, получим дифференциальное уравнение фазовой траектории

Можно показать, что последнее уравнение – это уравнение логарифмической спирали (рис. 2.8).

x2

x1

Рис. 2.8. Особая точка устойчивый фокус

Различные начальные условия дадут различные, вложенные друг в друга спирали, навивающиеся на начало координат, которое является точкой равновесия под названием устойчивый фокус. Любая фазовая траектория, начавшись в произвольной точке фазовой плоскости, с течением времени будет неограниченно приближаться к точке равновесия. Поэтому устойчивый фокус не только является устойчивым по Ляпунову, но и является асимптотически устойчивой точкой равновесия.

76

3. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные с положительной вещественной частью. Для характеристического уравнения (2.3.9) это будет выполняться при

h < 0,

Переходной процесс при этом колебательный с нарастающей амплитудой, а фазовые траектории – раскручивающие логарифмические спирали (рис. 2.9).

x2

x1

Рис. 2.9. Особая точка неустойчивый фокус

Любое сколь угодно малое отклонение от точки равновесия приведет к тому, что с течением времени изображающая точка, двигаясь по соответствующей траектории, неограниченно удаляется от точки равновесия. Следовательно, такая точка равновесия является неустойчивой и называется неустойчивым фокусом.

4. Вещественные отрицательные корни характеристического уравнения. Для характеристического уравнения (2.3.9) это означает, что

77

h > 0,

Решение дифференциальных уравнений (2.3.8) при этом будет иметь вид «затухающих» экспонент

причем λ1,λ2 – отрицательные вещественные числа.

Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 2.10. x2

x1

Рис. 2.10. Особая точка устойчивый узел

Из рисунка видно, что любая траектория ведет в начало координат. Особая точка в этом случае является точкой устойчивого (более того, асимптотического) равновесия и называется устойчивым узлом.

5. Вещественные положительные корни характеристического уравнения. Такие корни будут, если в условии (2.3.15) h < 0 . Показатели экспонент в решении (2.3.16) будут положительные, и малейшие отклонения от точки равновесия приведут к неизбежному удале-

78

нию от точки равновесия. Следовательно, точка равновесия является неустойчивой и называется неустойчивым узлом. Изменится и направление движения по фазовым траекториям, которые будут иметь, в общем, тот же вид, что и изображенные на рис. 2.10. Фазовые траектории вблизи неустойчивого узла приведены на рис. 2 11.

x2

x1

Рис. 2.11. Особая точка неустойчивый узел

6. Вещественные корни различных знаков. Такие корни будут, если в характеристическом уравнении (2.3.9) p<0. Простейшим примером дифференциального уравнения, соответствующего данному случаю, будет уравнение динамики материальной точки массой m под действием силы, пропорциональной отклонению этой точки от положения равновесия

mɺxɺ= kx .

Обозначив x1 = x , перейдем от этого уравнения к канонической форме фазовой переменной

79

xɺ1 = x2,

k xɺ2 = m x1.

Из последней системы уравнений получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

dx2 = k x1 . dx1 m x2

Полученное уравнение легко интегрируется разделением переменных

km

где С – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Уравнение (2.3.17) является уравнением семейства гипербол (рис.

2.12). Положив в частном случае С=0, получим две асимптоты такого семейства

x2 = ± k x1 . m

Особая точка этого типа называется седлом.

Анализ фазовых траекторий на рис. 2.12 показывает, что движение, начавшееся из любой точки фазовой плоскости, приведет с течением времени к бесконечному удалению изображающей точки от точки равновесия. Единственное исключение – это нахождение начальной точки точ-

но на асимптоте x2 = −k m x1 . Однако сколь угодно малое отклонение

80