Материал: 6251

Действительно, пусть, например, нелинейная система первого порядка

управление, y(t) – выход системы, а k>0. Тогда при u(t)=0 система устой-

чива ( y(t) → 0 ), а при u(t)>1 – неустойчива ( y(t) → ∞ ).

t→∞ t→∞

Таким образом, в нелинейных системах речь может идти не об устойчивости или неустойчивости вообще, а об устойчивости или неустойчивости определенных режимов работы таких систем.

Большой вклад в теорию устойчивости внес русский ученый А.М. Ляпунов. Проведённые им исследования носят фундаментальный характер и потому представляют интерес до сих пор. Дадим понятие устойчивости по Ляпунову, воспользовавшись понятием фазового пространства.

Фазовое пространство – это эвклидово пространство, координаты которого есть фазовые переменные состояния системы1. Обозначим эти координаты через xi . Возьмём некоторое решение xi (t) уравнений состояния, удовлетворяющее определенным начальным условиям xi(t0), и назовем движение системы, соответствующее этому решению невозмущённым. Любое другое движение xi (t), отличающееся от невозмущенного и соответствующее другим начальным условиям xi (t0 ), будем называть возмущённым. Тогда, согласно Ляпунову, невозмущенное движение называется устойчивым, если для любой наперед заданной области ε отклонений возмущенного движения от невозмущенного можно указать такую область δ отклонений

1 Для линейной системы при записи её уравнений состояния в канонической форме фазовой переменной собственная параметрическая матрица системы является матрицей Фробениуса.

66

начальных условий, обладающую свойством, что ни одно движение, начавшееся внутри области δ, никогда не достигнет границ области ε. Это означает, что невозмущенное движение устойчиво, если для всякого ε>0 можно найти такое δ>0, что из неравенств

xi (t0 )− xi (t0 ) < δ, i = 1,2,...,n

следует выполнение неравенств

xi (t)− xi (t) < ε, i = 1,2,...,n

для всех моментов времени t>t0.

Если же для некоторой области отклонений ε возмущенного движения от невозмущенного невозможно найти такую область отклонений δ от начальных условий, которая обладала бы свойством, что ни одно движение, начавшееся внутри δ, никогда не достигнет границ области

ε, то возмущенное движение будет неустойчивым.

Важно отметить некоторые особенности определения устойчивости по Ляпунову. Во-первых, задавая определённую область ε, мы получаем допустимую область начальных условий δ, вообще говоря, зависящую от выбранной области ε. Эту зависимость можно отметить как

δ = δ(ε). Во-вторых, начав движение из некоторой области δ начальных условий, вовсе не требуется, чтобы с течением времени система стремилась бы к невозмущенному движению. Нужно лишь, чтобы движение не выходило за пределы области ε. Если же возмущенное движение с тече67

нием времени будет стремиться к невозмущенному, то есть xi (t) → xi (t),

t→∞

то такое невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым. В-третьих, в определении Ляпунова область ε – произвольная, в том числе и как угодно малая, поэтому и получающаяся для устойчивого движения область δ(ε), содержащаяся, вообще говоря, внутри области ε, также весьма малая. Следовательно, и наоборот, только при достаточно малых начальных отклонениях δ можно ожидать малых отклонений ε. Таким образом, устойчивость по Ляпунову – это устойчивость в малом (локальная устойчивость). Нужно понимать, что устойчивость в малом не обязательно влечет за собой устойчивости при больших или произвольных начальных отклонениях.

В нелинейных системах рассматривают, таким образом, следующие понятия устойчивости:

–устойчивость в малом – это устойчивость движения (положения равновесия) при бесконечно малых отклонениях от исходного движения (положения равновесия);

–устойчивость в большом – это устойчивость движения (положения равновесия) при конечных отклонениях от исходного движения (положения равновесия), возможных в данной системе по условиям её работы;

–устойчивость в целом – это устойчивость движения (положения равновесия) при любых отклонениях от исходного движения (положения равновесия), то есть в данном понятии устойчивости отсутствуют какиелибо ограничения на начальные отклонения;

–абсолютная устойчивость – это устойчивость в целом при лю-

бой нелинейности из определённого класса нелинейностей. 68

2 . 3 . 2 . Пер вый м ето д Ляпуно ва (м ето д м алых о ткло нений)

Этот метод заключается в суждении об устойчивости нелинейной системы по её линеаризованному уравнению. В данном случае речь идет о линеаризации путём разложения в ряд Тейлора, а так как такая линеаризация возможна только при малых отклонениях от интересующих нас режимов, то данный метод известен ещё как метод малых отклонений.

Проиллюстрируем этот метод для системы, описываемой уравнением второго порядка, поскольку движение системы второго порядка несложно представить на фазовой плоскости. Пусть уравнение системы имеет

Q(x, y)= F(x, y), но в общем случае функции P и Q могут быть произ-

вольными. Для простоты будем полагать эти функции аналитическими. Для каждой точки (x,y) фазовой плоскости (за некоторым исключени-

ем, как увидим дальше) уравнения (2.3.1) вполне однозначно задают направление касательной к фазовой траектории. Тангенс угла наклона 69

касательной к фазовой траектории равен tgϕ = dy , а деля второе из

Уравнение (2.3.2) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий и оно задаёт угол наклона касательной к фазовой траектории в каждой точке, кроме точки, где одновременно выполняются условия

P(x, y)= 0,

( ) (2.3.3)

Q x, y = 0.

При выполнении условия (2.3.3) из уравнений (2.3.2) получаем неопределенность типа ноль, делённый на ноль. То есть через точку, удовлетворяющую условиям (2.3.3), могут проходить многие траектории. Такие точки называются особыми. Учитывая уравнения (2.3.1), для особых точек получаем

Но равенства (2.3.4) означают, что переменные состояния системы x,y не меняются со временем – система находится в покое. Таким образом, особые точки – это точки, соответствующие состояниям равновесия системы.

70