Материал: 6251

нелинейных системах могут быть незатухающие колебания (автоколебания). В случае достаточной малости этих автоколебаний такая система вполне работоспособна. В пространстве состояний незатухающие колебания соответствуют замкнутой траектории под названием предельный цикл.

4.В устойчивой линейной системе при наличии входного гармонического сигнала выходной сигнал в установившемся режиме также гармонический с той же частотой, что и входной сигнал. В нелинейных системах это может быть не так.

5.При отсутствии входного воздействия в нелинейных системах в зависимости от начальных условий может быть несколько устойчивых состояний или устойчивых предельных циклов.

6.В нелинейных системах возможно резкое (скачкообразное) изменение амплитуды и (или) частоты выходной величины при плавном изменении входной величины или при плавном изменении какого-либо параметра системы.

2.2. Типовые нелинейные звенья и их уравнения

В результате математического описания нелинейных САУ составляется структурная схема, содержащая линейные (точнее, линеаризованные) и существенно нелинейные звенья. При описании последних, в свою очередь, осуществляется идеализация с целью упрощения этого описания вплоть до перехода в большинстве случаев к типовым нелинейностям.

56

Все нелинейности можно подразделить на следующие виды.

1.Статические нелинейности. Все статические характеристики являются однозначными. К типовым нелинейностям этого типа можно отнести:

а) релейную характеристику, б) характеристику усилителя с ограничением,

в) характеристику усилителя с зоной нечувствительности.

2.Динамические нелинейности. К нелинейностям такого типа относятся:

а) петля гистерезиса, б) люфт, в) упор,

г) динамические нелинейности с нелинейными дифференциальными уравнениями, включающими произведения или нелинейные функции производных.

3.Нелинейности структуры.

4.Нелинейности логического типа.

5.Нелинейности самонастройки и оптимизации.

6.Нелинейные законы управления:

а) функциональные, б) логические,

в) параметрические, когда имеются нелинейные функции от параметров, входящих в математическое описание алгоритма управления.

Рассмотрим некоторые типовые нелинейности более подробно.

57

2 . 2 . 1 . Однозначные нелинейно сти

Релейную характеристику (рис. 2.1, а) можно описать соотношениями

где x1 – входной сигнал нелинейного звена, x2 – выходной сигнал. Разновидностью характеристики (2.2.1) обладает трёхпозиционное

реле или реле с зоной нечувствительности (рис.2.1, б) с уравнением

Дальнейшим развитием подобных характеристик являются многоступенчатые характеристики (рис. 2.1, в), получающиеся в результате квантования сигнала по уровню (амплитуде).

Усилитель с ограничением имеет идеализированную характеристику, изображенную на рис. 2.1, г. Аналитический вид этой зависимости

Идеализированная характеристика усилителя с зоной нечувствительности приведена на рис. 2.1, д и задана соотношением

58

Рис. 2.1. Статические нелинейности

Разумеется, возможны и различные комбинации рассмотренных характеристик. Все подобные характеристики являются кусочнолинейными.

2 . 2 . 2 . Двузначные хар актеристики

Петля гистерезиса (рис. 2.2, а) является типичным представителем двузначных характеристик. Такой вид имеет, например, кривая намагничивания в катушке со стальным сердечником. Петля гистерезиса относится к динамическим нелинейностям, поскольку значение функции зависит не только от самого аргумента, но и от скорости его изменения

59

(точнее, от знака скорости). Механическое реле со стальным сердечником также имеет двузначную характеристику с гистерезисом. Например, в двухпозиционном поляризованном реле при его симметричной настройке переключение контактов в одном направлении происходит при вполне определенном напряжении, а переключение в обратном направлении происходит при таком же напряжении, но противоположного знака (рис. 2.2, б). Реальное трёхпозиционное реле также обладает двузначной характеристикой с гистерезисом (рис. 2.2, в).

Рис. 2.2. Двузначные характеристики

2 . 2 . 3 . Мно гозначные хар актер истики

К многозначным характеристикам относится характеристика звена типа «люфт» или «сухое трение». Такая нелинейность часто встречается в механических системах и связана она с наличием зазоров в системе передач вращательного или поступательного движения, либо с сухим (кулоновым) трением в таких системах. Один из примеров механической системы с нелинейностью типа «люфт», приведен на рис. 2.3, а.

Ведомый (вторичный) вал не начнет вращаться, пока не будет выбран

люфт между вращающейся частью ведущего (первичного) вала и дужкой, 60