Документ: 5510, страницы 31-35 | Студенческое хранилище

Материал: 5510

Смотрите также:

Так как для всех n справедливо неравенство

1

и геометрический

3n

2

ряд

1

q

1

1 сходится, то по теореме 3 сходится и данный ряд.

n 1 3n

3

Пример 15. Исследуем на сходимость ряд

1

, т.е. обобщённый

n

1

гармонический ряд (13) с

1

(его расходимость уже установлена в

2

пункте 3 на основании определения 3). Сравним его с гармоническим рядом (12), расходимость которого установлена в пункте 2. Так как при всех

го ряда) и гармонический ряд расходится, то по теореме 3 расходится и данный ряд.

Пример 16. Исследуем ещё раз обобщённый гармонический ряд (13) при 1 с помощью данного признака сравнения (при таких этот ряд уже изучен в пункте 3).

Поскольку при 1 для любого номера n справедливо неравенство

1 1 n n

и так как гармонический ряд расходится, то теорема 3 позволяет утверждать расходимость ряда (13) для всех 1.

Пример 17. Докажем, что ряд					1		сходится. При любом n

			n	1 n	1 2
имеет место неравенство
n 1 2		n 1 n		1		n n	1
и, следовательно,
		1		1		.

	n	1 2	n n		1

31

Так как ряд с большими членами			1		сходится (см. пример 5), то со-

			n n	1
			n n	1
гласно теореме 3 данный ряд тоже сходится.
Пример 18. Ряд	1	отличается от ряда примера 17 только пер-

	1 n2
n	1 n2

вым членом, равным единице, и поэтому сходится. Данный ряд есть част-

ный случай обобщённого гармонического ряда

2 .

Иногда более удобно применять другой признак, который можно назвать предельным признаком сравнения.

Теорема 4. Пусть ряд (22) – положительный, а ряд (23) строго поло-

жительный vn

0 . Если существует конечный,

отличный от нуля, предел

отношения общих членов этих рядов

lim

un

K

0 ,

(25)

vn

n

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Если предел (25) существует, то по определению

предела числовой последовательности для любого числа

0

найдётся

номер N такой, что для всех n

N будет выполняться неравенство

un

K

или K

un

K

.

vn

Так как по условию теоремы vn

0 , то для всех n

N будет выполняться

неравенство

K

vn

un

K

vn .

(26)

Поскольку un

0, vn

0 и предположено, что K

0 , то K

0 . В силу про-

извольности числа

его можно выбрать таким, чтобы число K

было

положительным

K

0 ; для этого

0, может быть, придётся взять

сколь угодно малым. Неравенства (26) позволяют применять теорему 3 (первый признак сравнения). Именно, будем сравнивать положительные ряды с членами K vn , un , K vn .

32


Пусть ряд с членами un сходится. Так как K		vn	un , то по пер-
вому признаку сравнения (теорема 3) ряд с членами		K	vn сходится, а
тогда по свойству 2 сходится и ряд с членами vn .
Пусть теперь сходится ряд с членами vn . Тогда по свойству 2 схо-
дится ряд с членами K	vn . Но так как согласно (26) un		K	vn , то
по теореме 3 сходится и ряд с членами un .
Итак, сходимость одного из рядов (22) и (23) при vn			0 влечёт за со-

бой сходимость другого ряда (тем самым, если один из них расходится, то расходится и другой). Теорема доказана.

Пример 19. Исследуем с помощью этого признака ряд из примера 17. Сравним его со строго положительным рядом примера 5, который схо-

дится.

Так

как K

lim

1

n

1 2

lim

n n 1

lim

n

1, то ряд

1 n n 1

n 1 2

n 1

n

1

сходится.

n 1 n

1 2

Пример 20. Исследуем ряд

1

. Сравним его также с рядом

n

11

n2

примера 5.

Так как

K

lim

1 1

n2

lim

n n

1

, то данный ряд

1 n n

1

n2

n

1

сходится.

Пример 21. Исследуем сходимость ряда

2n

5

, сравнив его с

n2

n

1

расходящимся гармоническим рядом. Так как

K

lim

2n

5

n2

lim

2n

5 n

2 ,

1 n

n2

n

то данный ряд, как и гармонический, расходится.

Пример 22. Исследуем на сходимость ряд	ln 1	1	. Отметим,
		n
n	1

что необходимое условие (14) его сходимости выполняется:

33

				lim un		lim ln 1		1	ln1 0 .

								n
				n	n			n
Сравним	его с		гармоническим				рядом,	используя теорему		4. Так как
	ln 1	1
					1		n
		n						1 , то исследуемый		ряд, как и
		n
K lim				lim ln 1			lne
K lim	1 n			lim ln 1		n	lne
n	1 n			n		n

гармонический, расходится.

К рассмотренным признакам сравнения близки часто используемые признаки Даламбера и Коши в непредельной и предельной формах. Они основаны на сравнении рассматриваемого положительного ряда со сходящимся геометрическим рядом

aqn

aq

aq2

aqn

0 q 1

n

1

или с расходящимся рядом

1

.

n

1

Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть ряд (22) строго положи-

тельный

un 0 .

Если для всех n или начиная с некоторого номера N

выполняется условие

un

1

q 1,

(27)

un

то ряд сходится; если же

un 1

1,

(28)

un

то ряд расходится.

Доказательство.

Неравенство

(27)

равносильно неравенству

u

n

1

qu

n

или

u

n 1

u qn

. Хотя последнее неравенство может быть вы-

1

полнено только начиная с некоторого номера N , на основании замечания 7

к теореме 3 ряд

un

0 будет сходиться, так как сходится геометри-

n

1

ческий ряд с членами u qn

q

1 .

1

34

Неравенство (28) равносильно неравенству un 1 un , т.е. члены строго положительного ряда не убывают, а потому не могут стремиться к нулю (нарушено необходимое условие сходимости (14)). Ряд расходится.

Теорема доказана.
		Замечание 8. Неравенство		(27)	нельзя заменить на неравенство
	un 1	1. Действительно, для гармонического ряда при всех n
	un	1. Действительно, для гармонического ряда при всех n
	un
			un 1 1	n 1		n	1,

			un	1 n		n 1
			un	1 n		n 1

но, как доказано ранее, гармонический ряд (12) расходится (см. пункт 2). Обычно чаще применяется другая (предельная) форма этого

признака.

Теорема 6 (предельный признак Даламбера). Пусть в случае стро-

го положительного ряда существует предел

lim	un 1	D .	(29)
	un
n

Тогда

1)при D 1 ряд сходится;

2)при D 1 ряд расходится;

3)при D 1 ряд может как сходиться , так и расходиться (признак ответа не даёт).

Доказательство. Условие (29) по определению предела последовательности означает следующее: для любого 0 найдётся такой номер N , что для всех n N будут выполнены неравенства

D		un 1	D	.
		un

В случае D 1 число D	будет играть роль числа q в предыдущей

теореме (см. (27)). Действительно, в этом случае в силу произвольности

числа	0 его можно выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство
q D	1 ( за положительное число можно взять любое число, мень-

шее чем 1 D ). Следовательно, по теореме 5 ряд сходится.

35

(члены исследуемого ряда не меньше членов гармоническо-