Документ: 5510, страницы 41-45 | Студенческое хранилище

Положительный ряд в случае

lim n u

n

также расходится.

n

Пример 27. Выяснить, сходится ли ряд

5n2

1

. Находим D по

n

1 2n2

n

формуле (29):

5 n 1 2 1 2n2

5n2

2n 2 2n2

D

lim

n

lim

n

2 n 1 2

5n2

2n2

2n 1 5n2 1

n

1 n

n 1

2n

1

2n 1

lim

5

n

lim

5

.

2

n

1

2

n

Согласно замечанию 12 данный ряд расходится.

Замечание 13. В случаях D

1 или K

1 предельные признаки от-

вета не дают. По соответствующему непредельному признаку ответ иногда

для ряда с общим членом un

n!

e

n

можно получить. Так,

предельный

n

признак Даламбера не годится, так как

e

n 1

n

1 !

un 1

n

e

D

lim

n

1

lim e

lim

1.

un

n

1

n

e

n

e

n

1

n!

1

n

Однако в рассматриваемом случае

un

1

e

,

un

1

1 n

n

и поскольку

1

1 n

стремится к пределу

e ,

монотонно возрастая,

то

n

un

1

для всех n . Таким образом, выполнено условие (28) непредельно-

un

го признака Даламбера и ряд расходится.

При решении примеров предельный признак Даламбера более употребителен, чем предельный признак Коши. Это объясняется тем, что вычислить D по формуле (29) часто легче, чем K по формуле (32) (напри-

41

мер, в случае наличия выражений с факториалами). Однако признак Коши сильнее признака Даламбера. Во всех случаях, когда применим признак Даламбера, ответ может быть получен и с помощью признака Коши. Обратное утверждение неверно. Имеются примеры рядов, когда признак Коши действует, а признак Даламбера – нет. Примером такого ряда является

ряд с общим членом un	1 n		3	. Читатель легко может убедиться, что в
	2n	1

этом случае предел (29) вообще не существует. Предел же (32) существует,

при этом K	1	; следовательно, по предельному признаку Коши ряд с та-
	2

ким общим членом сходится.

Имеются ряды, к которым оба вышеописанных признака не применимы. Так, например, с помощью этих признаков нельзя ответить на вопрос о сходимости обобщённого гармонического ряда (13) при любом ве-

щественном числе	. Действительно,
					1
D lim		un	1	lim	n 1	lim	n	1,
D lim		un		lim	1	lim	n 1	1,
n		un		n	1	n	n 1
					n

1

n

1

K

lim n u

n

lim n

lim

1 1.

n

(то, что lim n

1

1 было установлено ранее). Для этого ряда пока лишь

n

установлено, что он расходится при 1 (см. пункты 2 и 3). Вопрос о сходимости ряда (13) при 1 остаётся открытым.

Изучим ещё один признак сходимости положительных рядов, который и даст ответ на вопрос о сходимости ряда (13) при всех (в частности, при 1). Этот признак основан на интегральном исчислении. Для этого напомним понятие несобственного интеграла по бесконечному промежутку интегрирования.

42

Пусть функция f x непрерывна на промежутке a,				. Тогда она
интегрируема на любом отрезке	a,b , где b		a . Несобственный интеграл
f x dx определяется равенством
a
		b
f x dx		lim f	x dx .
a	b	a
a		a

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится; в противном случае несобственный интеграл называется

расходящимся. Если при этом для			f x существует первообразная функ-
ция F x	на всем промежутке	a,	, то справедлива формула

	f x dx	F	F a F x	a ,
	a		F a F x	a ,
	a
где F	lim F x . Эта формула является аналогом формулы Ньюто-
	x

на-Лейбница для определённого интеграла по отрезку a,b от непрерывной функции f x .

Теорема 8 (интегральный признак Маклорена – Коши). Пусть за-

данная на промежутке 1,функция f xнепрерывна, неотрицательна и не возрастает. Пусть положительный числовой ряд имеет форму

un	f x ,	(34)
n 1	n 1

т.е. члены ряда удовлетворяют условию

u1 f 1 , u2 f 2 , , un f n , .

Тогда для сходимости ряда (1.34) необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

	f	x dx .	(35)
	1
Доказательство. В силу монотонности функции f x			на любом от-
резке n, n 1 n 1, 2, ...	справедливы неравенства
un	f n f x	f n 1 un 1.
		43

	n	1		nn 1
Так как un , un 1 – постоянные числа и		1 dx	x		n 1 n 1, то, ин-
		1 dx			n 1 n 1, то, ин-

	n
тегрируя эти неравенства по отрезку n, n		1 , из свойств неопределённого
интеграла получим
n	1
un	f x dx	un	1 .		(36)
	n

Неравенства (36) позволяют обратиться к признаку сравнения (теорема 3) для следующих рядов:

un

u1

u2

un

,

(37)

n 1

un

1

u2

u3

un

1

,

(38)

n

1

n 1

2

3

n

1

vn

f

x dx

f

x dx

f

x dx

f x dx

. (39)

n

1

n

1 n

1

2

n

Рассмотрим ряд (39). Его n -й частичной суммой будет

2

3

n 1

n

1

Sn

f x dx

f x dx .

1

2

n

1

n 1

Так как

lim Sn

lim

f

x dx

f

x dx , то в силу определения 3 схо-

n

1

димость ряда (39) означает сходимость несобственного интеграла (35).

Если ряд (37) сходится, то по признаку сравнения рядов в силу пер-

n

1

вого неравенства из (36) un

f x dx

vn будет сходиться ряд (39) и,

n

следовательно, несобственный интеграл (35). Первая часть теоремы доказана, т.е. установлено необходимое условие сходимости.

Пусть сходится несобственный интеграл (35). В силу ранее отмечен-

n 1

ного будет сходиться и ряд (39), общий член которого имеет вид f x dx .

n

Тогда на основании признака сравнения рядов в силу второго из (36) нера-

44

n	1
венства un 1	f x dx будет сходиться ряд с меньшими членами, т.е.
	n

ряд (38). Поскольку ряд (37) отличается от ряда (38) только первым членом u1 , то на основании замечания 4 будет сходиться и ряд (37), т.е. исходный ряд (34). Достаточное условие установлено. Теорема доказана.

Теорема 8 означает, что ряд (34) и несобственный интеграл (35) одновременно сходятся или расходятся.

Пример 28. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический

ряд (13). При	0 ряд расходится, поскольку общий член при таких не
стремится к нулю. Остаётся рассматривать случай				0. При таких
функция f x	1	на промежутке 1,	непрерывна,	положительна и

x

монотонно убывает, т.е. удовлетворяет условиям теоремы 8, причём

f n 1 . Значит, исследуемый ряд (13) сходится или расходится одно- n

временно с несобственным интегралом	1	dx . Исследуем на сходи-

1 x

мость этот интеграл при 0.

При 1 функция f xимеет вид f x 1x , а её первообразной на промежутке 1,является функция F x ln x . Тогда

	1	dx ln x	1	ln	ln1	,
	1

1 x
1 x

т.е. несобственный интеграл расходится. Следовательно, гармонический ряд (12) расходится, что было установлено и ранее другими методами (см. пункт 2).

	При	1	первообразной функции f x	1	будет функция

				x
				x
F x	1	x	1 . Тогда

	1
	1

45

Материал: 5510

Смотрите также: